5.2求导法则.doc.doc

§5.2　求导法则 本节主要教学内容：导数的四则运算，反函数求导法则，复合函数的导数，基本公式。 教学方法与设计：证明部分公式，重点讲授例题使学生掌握求导方法，特别是复合函数的导数要讲细、讲透，并多以课堂习题训练之。 一、导数的四则运算 设在可导，则在也可导且 （1）；（2）；（3） 证明：略。 说明：（1）、（2）皆可推个到任意有限个函数的情况。如 （2）特例：， 例：求的导数。 例：求的导数。 例：设 二、反函数求导法则 设在为严格单调的连续函数，在可导且，则其反函数在也可导，且。 证明：由条件可知存在且连续，与有相同的严格单调性，于是有 。而 例：证明（1） （2） （3） 证明：（1）设，则 （2）设， （3）略 三、复合数函数的导数 1、引理 在可导，在连续的函数使得 ，从而有。 证明：由条件知，则由可导知在连续，，由条件知，于是在可导。 说明：可导是 2、复合函数的导数 设可导，则复合函数在也可导，且 证明：由在可导，则由引理的必要性，连续的函数 使，且 又 且，故有 ，又连续。在连续，故在点连续，由引理的充分性知。且 说明：（1）复合函数求导法则亦称为链式法则： 可推广：则 （2） （3）在求复合函数的导数时，首先要对复合函数进行“分解”，弄清楚各个中间变量，然后应用链式法则，求出各个中间变量的导数相乘即可，最后将中间变量代回导数中。 特别注意：1、不能脱节、2、要求导到底。 例： 四、基本求导法则与公式（P101） 例：求下列函数的导数。 （1），（2），（3） （4），（5），（6） 例：初等函数的导数（注意运算次序）。 （1），（2），（3）. （4），（5），（6） 例：设，其中，且均可导，求此幂指函数的导数。 解： 五、隐函数的导数 隐函数的概念 设二元方程，若，通过方程存在唯一的与对应，则在上定义了一个函数，称为由方程所决定的隐函数，记为：。显然有。 例：设，则方程所决定的隐函数为： ， 例：设，则方程所决定的隐函数为： 例：设，虽然方程决定隐函数，但是不能解出为的形式。 例：设，则方程不能决定隐函数。 隐函数的存在性、性质及求导法则将在下册介绍，这里我们可以利用复合函数求导法则求出方程所决定的隐函数的导数。 例：求下列方程决定的隐函数的决定的导数。 （1）；（2）。 解：（1）将看成的函数，则关于的函数就是的复合函数 在方程的两边对求导得：，解得。 （2）在方程两边对求导得：，解得。 例：对数求导法（主要用于求幂指函数及若干个因子的积、商、乘方、开方的导数）。 1、 2、 3、 解：（1）两边取对数得：，两边对求导得：，将代入得 （3）在的两边取对数得：，两边对求导得： ，将代入得。 例：（1）设 （2）设 解：当时，； 当时， 所以有 （2）当时，；当时，； 当时，， 又，故。 总之有有。 作业：P102习题1（2），2、3的部分题 5