3.1-3矩阵的初等变换.doc

矩阵的初等变换与线性方程组（5学时） 本章引言 本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。为此首先要介绍矩阵的初等变换概念，它是求矩阵秩的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论上加以提高总结。 教学内容： 矩阵的初等变换，矩阵的秩，线性方程组有解的充要条件，线性方程组解的结构及通解，初等矩阵。 教学目的与要求： 1.理解矩阵秩的概念及求法，知道满秩矩阵的性质。 2.熟练掌握矩阵的初等变换。 3.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件。 4.熟练掌握用初等变换求线性方程组通解的方法。 5.掌握用矩阵的初等变换求矩阵的逆的方法。 重点、难点： 1.重点：矩阵的初等变换，矩阵的秩，线性方程组有解的充要条件。 2.难点：求线性方程组通解 基本方法及技能： 矩阵的初等变换法；用矩阵的初等变换求矩阵的秩，求线性方程组通解和求矩阵的逆。 教学建议及教法提示 1.建议按教材编排顺序通过线性方程组的消元法引进矩阵的初等变换。本教案在这里尝试着改变讲授顺序，先讲矩阵的秩…。 2.矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求矩阵的逆及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用，因此要求学生熟练掌握矩阵的初等变换。 3.要强调用初等行变换把矩阵化为行最简形的运算. 4.矩阵的秩是一个抽象的概念，可通过具体例题的讲授使学生掌握其求法。 5.线性方程组的解法在本章应完全解决（虽然理论尚不完全），并要求学生能熟练地从行最简形写出通解，这不仅是解方程的需要，而且对其学习后继内容有很大的关系。 6.含参数的方程组的系数矩阵通常限于方阵，其解法也可按系数行列式是否为0来讨论，因此对含参数的矩阵作初等变换可不作过高要求。 应注意的问题： 1、用初等变换法求矩阵的逆矩阵时，无论采用初等行变换还是采用初等列变换，其结果是一致的，注意，在同一过程中不要两种方法同时混合用。习惯上，常采用初等行变换法求逆矩阵。2、注意矩阵的初等变换与方阵的行列式（利用行列式的性质）运算的区别。 §3.1 矩阵的秩 1. 子式：在中, 选取行与列, 位于交叉处的个数按照原来的 相对位置构成阶行列式, 称为的一个阶子式, 记作． 对于给定的, 不同的阶子式总共有个． 2. 矩阵的秩：在中，若 (1) 有某个阶子式； (2) 所有的阶子式（如果有阶子式的话）． 称的秩为, 记作, 或者 ．规定： 性质：(1) (2) 时 (3) (4) 中的一个 (5) 中所有的 例1 , 求． 解 位于1,2行与1,2列处的一个2阶子式 计算知, 所有的3阶子式, 故． [注] , 若, 称为行满秩矩阵； 　　　　 若, 称为列满秩矩阵． 　　 , 若, 称为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 　　　　 若, 称为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）． §3.2 矩阵的初等变换 1. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 ② 数乘 ③ 倍加 经过初等变换得到, 记作． 2. 等价矩阵：若, 称与等价, 记作． (1) 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：, 定理1 ． 　 证 只需证明． 设, 仅证行变换之(3)的情形： (1) 若, 则有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的阶子式 , 于是可得． (2) 若或者, 构造矩阵 , 由(1)可得 其余情形类似． 例2 , 求． 解 , 故． 行最简形： 标准形： 定理2 若, 则 ：行阶梯形 ：行最简形 定理3 若, 则, 称为的等价标准形． 推论1 若满秩, 则． 推论2 ． §3.3 解线性方程组的消元法 例如 解线性方程组的初等变换： (1) 互换两个方程的位置 (2) 用非零数乘某个方程 (3) 将某个方程的若干倍加到另一个方程 用矩阵的初等变换表示方