授课章节第一章§3函数概念.doc

教学课题：§３ 函数概念 教学目的：深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法； 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。 教学重点：分析初等函数的复合关系。 教学过程： 关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论。 一 函数的定义 １．定义１ 设，如果存在对应法则，使对，存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集Ｄ上的函数，记作(). 函数在点的函数值，记为，全体函数值的集合称为函数的值域，记作。即 。 函数定义的记号中“”表示按法则建立Ｄ到Ｍ的函数关系，表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作。习惯上称自变量，为因变量。 ２．说明 （1）确定 函数的二要素：D与f 当且仅当两个函数有相同的定义域和对应法则时，才称两个函数相等。 例如：1） （不相同，对应法则相同，定义域不同） 2） （相同，尽管对应法则的表达形式不同，但对应法则本质相同）。 （2）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数。即“函数”或“函数”。 （3）函数也可看成映射。从“映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下的象。称为的原象。 （4）单多值函数。函数定义中，，只能有唯一的一个值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个值，可以对应多于一个值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。 二 函数的表示方法 1 解析法（公式法） 2、列表法 3、图象法 4、描述法 有些函数无法用解析法、列表法、图象法来表示，只能用语言来描述。例如： （1） （Ｄirichlet） （2）为既约分数）（Riemman函数） 注：分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例如　　，（符号函数） 三 函数的四则运算 给定两个函数，记，并设，定义与在Ｄ上的和、差、积运算如下： ；；. 若在Ｄ中除去使的值，即令，可在上定义与的商运算如下；. 注：１）若，则与不能进行四则运算。例 ； 则由于 故不能作四则运算。 ２）为叙述方便，函数与的和、差、积、商常分别写为：. 四 复合运算 1. 定义（复合函数） 设有两个函数，记，若，则对每一个，通过对应Ｄ内唯一一个值，而又通过对应唯一一个值，这就确定了一个定义在上的函数，它以为自变量，因变量，记作或。简记为。称为函数和的复合函数，并称为外函数，为内函数，为中间变量。 例 复合为 ； 与 复合为 2．说明 (1)并不是任意两个函数都可以复合. 例 . 就不能复合，因为.即 “内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集为空。 (2）复合函数可由多个函数相继复合而成。 例如：，复合成：. 五、反函数 １ 引言 在函数中把叫做自变量，叫做因变量。但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的， 有时我们不仅要研究随的变化状况，也要研究随的变化的状况。对此，我们引入反函数的概念。 ２ 反函数概念 设函数。满足：对于值域中的每一个值，Ｄ中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作 或. ３ 注意 1) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数有反函数，意味着是Ｄ与之间的一个一一映射，称为映射的逆映射，它把； 2) 函数与互为反函数，并有: 3) 在反函数的表示中，是以为自变量，为因变量。若按习惯做法用做为自变量的记号，作为因变量的记号，则函数的反函数可以改写为 . 应该注意，尽管这样做了，但它们仍表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已。 六 初等函数 1.．基本初等函数（６类） 常量函数　　（Ｃ为常数）； 幂函数　　； 指数函数； 对数函数　　； 三角函数　　； 反三角函数　　。 注：幂函数和指数函数都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义。下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质。 定义２．给定实数，设为无理数，我们规定： 注:这样的定义是有意义的. ２．初等函数 定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数 如： 不是初等函数的函数，称为非初等函数。如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数。 注：初等函数是本课程研究的主要对象。为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域。确定定义域时应注意两点