线性代数必须熟练掌握的方法1213.doc

《线性代数》课程必须熟练掌握的方法 周海港整理　2007年12月13日 行列式的计算方法： (1) 运用性质化为上（下）三角形行列式；(2) 运用按行（列）展开，化为低一阶的行列式；(3) 运用分块行列式的性质；(4) 运用递推公式；(5) 运用特殊形式的行列式，如范德蒙行列式的公式; (6) ；(7) ；(8) ,是A的特征值；【】　　　　　　 （p26-28）6. 8.(2)(3)(4)(6),9； (p55-56)14,24,  (p135)12,13 可逆矩阵的判定方法及求逆阵方法： (1) ;　　　　　　　　 (2) ; (3) ; (4) .【】　　　　　 (p44) 性质的证明；(p56)习题21，22，23；(p64)例2，例3 (p78)4,5,6 矩阵方程的求解方法：(1) (2) 【】(1)分块矩阵的乘法的前提条件(i)左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数； (ii)左边矩阵的列的分块方法与右边矩阵行的分法一致．(2)矩阵按行（列）分块.(3) .【】 初等变换、初等矩阵的应用：(1) 求矩阵的秩；(2) 求可逆矩阵；(3) 解线性方程组；(4) 解矩阵方程；(5) 求向量组的线性组合；(6) 向量组线性相关性的判断；(7) 求向量组的秩及最大无关组；【】(1) 应用初等变换化为阶梯形矩阵；(2) 应用秩的性质；(3) 应用方程组的解的判定定理；(4) 应用向量组的线性相关性；(5) 应用方程组的解的结构定理.【】(1)　n元齐次线性方程组Ax(0有非零解( r (n ((2) n元非齐次线性方程组Ax(b 　 (i) 无解　　　 (R(A)(R(A( b)(  (ii) 有唯一解　 (R(A)(R(A( b)(n( (iii) 有无限多解(R(A)(R(A( b)(n(　(3) 矩阵方程AX=B有解 (R(A)(R(A( B).【】　　　　　　　(p79-80)14,15,16,17,18 线性表示的方法：(1)判断一个向量能否由一个向量组线性表示，求线性表示的系数：　　(i)找到x1( x2( (((( xm( 使x1a1(... (xmam(b　　(ii) R(A)=R(A,b)； (iii) 解线性方程组Ax( b.(2)向量组线性表示　　(i)矩阵方程AX=B可解;　　(ii) R(A )= R(A, B).(3)向量组的等价　　(i) 矩阵方程AX=B, BY=A可解;　　(ii) R(A )= R(B )= R(A, B).【】 向量组的线性相关性：(1) 向量组A( a1( a2( (((( am 线性相关：　　 ( (i) )(定义)存在不全为零的必有k1,k2,(((=,km使得 k1a1(k2a2( ((( (kmam(0； ( (ii)(方程组)　Ax=0有非零解；　　 ( (iii)(矩阵)　R(A)＜m(2) 向量组A( a1( a2( (((( am 线性无关的充要条件：　　 ( (i) (定义)若 k1a1(k2a2( ((( (kmam(0, 必有k1=k2=(((= km=0； ( (ii) (方程组) Ax=0只有零解；　　 ( (iii) (矩阵)　R(A)=m(3) 若向量组A( a1( a2( (((( am线性相关( 则向量组B( a1( a2( (((( am, am+1也线性相关(  反之( 若向量组B线性无关( 则向量组A也线性无关( (4) m个n维向量组成的向量组( 当维数n小于向量个数m时一定线性相关( 特别地( n(1 个n维向量一定线性相关( (5) 设向量组A( a1( a2( (((( am线性无关( 而向量组B( a1( a2( (((( am( b线性相关( 则向量 b必能由向量组A线性表示( 且表示式是唯一的( 【】 求正交规范基(正交矩阵)的方法: 单位化:【】 将二次型化为标准形步骤：(i)写出二次型对应的对称矩阵A;(ii)求出A的特征值；(iii)求出特征向量,正交化,单位化;(iv)写出正交矩阵及标准形.【】(i)定义;(ii)特征值全为正；(iii)(霍尔维茨定理)顺序主子式全为正.【】 判断线性空间的方法(1)集合V上定义加法和数乘运算满足下面8条运算规律: (i)((