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第八讲 无穷级数 题型 判定级数的敛散性 【例1】判断下列级数的敛散性 1)2)3) 4)5） 解 1),则 (1)当时,原级数收敛； (2)当时,原级数发散； (3)当时,,原级数发散. (1)当时,原级数收敛； (2)当时,原级数发散； (3)当时,是单调趋于的,则，即单调增，又，则，原级数发散. ，而收敛，所以原级数收敛。 4）由于，而， ，则原级数与级数同敛散， 故原级数在时收敛，在时发散 5）方法1 由泰勒公式知 则,而收敛,则原级数收敛. 方法2 由不等式知 而收敛,则原级数收敛. 设正项数列单调减小,且发散,试问级数是否收敛？为什么？ 解 由于单调减,且,即下有界,则存在,设,则,若,由莱布尼兹准则知级数收敛,这与题设矛盾,因此,此时,对正项级数 用根值法,得,则级数收敛.,则级数 ( ) (A) 与都收敛 (B) 与都发散 (C) 收敛而发散 (D) 发散而收敛 【答案】(C) 【解析】这是讨论与敛散性的问题. 是交错级数,显然单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛. 正项级数中,. 根据正项级数的比较判别法以及发散,发散.因此,应选(C). 【例4】设常数,且级数收敛,则级数( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 【答案】(C) 【解析】考查取绝对值后的级数.因 , (第一个不等式是由得到的.) 又收敛,收敛,(此为级数：当时收敛；当时发散.) 所以收敛,由比较判别法,得收敛.故原级数绝对收敛 【例5】设,()且,则级数. (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)敛散性不定 解 由,知,. 令 ,则. 由级数定义知原级数收敛,但由于, 而发散,则发散,故原级数条件收敛. ,由收敛及比较判别法可知绝对收敛.即(D)正确. 另外,设,则可知 (A) , (C) 都不正确.设,则可知(B)不正确. 【例7】 设收敛,则级数.( ) (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)敛散性不定解 由于收敛,由级数收敛的必要条件知,则数列 有界,即存在,对一切的有,从而有.而级数收敛,则级数绝对收敛,故应选(B). 【解析】由于级数和都收敛,可见级数收敛.由不等式 及比较判别法知级数收敛,从而收敛. 又因为即级数收敛,故应选(A). 设,可知(B)不正确. 设,可知(C)不正确. 设,可知(D)不正确. 注：在本题中命题(D)“若级数收敛,且,则级数也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. 【例9】设级数收敛，则必收敛的级数为 ( ) (A) (B)(C) (D) 【答案】【详解】方法1：直接法由收敛，所以也收敛.由收敛级数的性质(如果级数、分别收敛于、，则级数也收敛，且其和为). 知选项成立. 方法2：间接法：取，级数收敛，但是发散的；关于上述结束的敛散，有下述结果： ：取，级数收敛，发散； ：取，级数收敛，但 由比较审敛法的极限形式知，级数发散.是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若收敛，则收敛 (B) 若收敛，则收敛 (C) 若收敛，则收敛 (D) 若收敛，则收敛 【答案】(A) 详解：根据级数性质：收敛级数任意添加括号仍收敛，故(A)正确. 2.（06,1，3）若级数收敛,则级数 ( ) (A) 收敛(B)收敛(C)收敛(D)收敛【答案】 【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛 因为收敛，所以也收敛，所以收敛，从而也收敛. 方法2：记 ，则收敛. 但，(级数，级数发散)； (级数，级数发散)均发散。由排除法知，应选 3.（05,3） 设若发散，收敛，则下列结论正确的是(A) 收敛，发散 . (B) 收敛，发散. (C) 收敛. (D) 收敛. 【答案】(D) 【详解】方法：排除法. 取，则发散，收敛，但与均发散，排除(A),(B)选项. 又的通项，因为发散，所以发散.故排除(C), 从而应选(D). 方法: 将题设收敛的级数展开 由级数基本性质知，收敛级数可以任意添加括号，故应选(D). 设为正项级数，下列结论中正确的是 ( ) (A) 若=0，则级数收敛. (B) 若存在非零常数，使得，则级数发散. (C) 若级数收敛，则. (D) 若级数发散, 则存在非零常数，使得. 【答案】 (B) 【详解】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可