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第二章　方差分析 §1　单因素方差分析 　　方差分析是检验同方差的若干正态母体均值是否相等的一种统计分析方法。有单因素与多因素方差分析，本节先介绍单因素方差分析的模型，原理及方法。 　　一、模型 设只有一个因素A影响试验指标，因素A在试验中取r种不同水平A1，A2，…，Ar，在Aj水平下共做S次试验，试验结果xij如表： 　　水平 数据 重复 A1 A2 … Aj … Ar 1 2 ┆ ┆ i …… …… …… xij ┆ ┆ S 试验结果Xij与均值μj的差是一个随机误差εij，且εij～N（0,σ2），xij～N(μj, σ2),X1, X2,…,Xr间相互独立，于是可以假设Xij具有如下数学结构式，即数学模型为 其中Xij相互独立，Xj～N(μj, σ2), εij～N(0,σ2)， 要检验的假设为： 　　　　　　　　　　　　(1) 为应用方便，把参数的形式改变一下，记 ，称μ为一般平均，αj为因素A的第j个水平的效应，且，这时，上式可写成 欲检验的假设为： 　　 　　　　　　（2） 二、原理 1.平方和分解　 其中 　 且　 2.检验统计量 其中n=rs 3.判断 若　，则接受H0（真） 若　，则拒绝H0（不真） 即　 (1)F＞F0.01影响极显著“**” 　　 (2) F＞F0.05影响显著“*” 　　 (3) F＞F0.10影响较显著“*” 　　 (4)F≤F0.10影响不显著 三、方法 1．计算方法 　　水平 数据 重复 A1 A2 … Aj … Ar 1 2 ┆ ┆ i …… …… …… xij ┆ ┆ S ∑ ∑ ∑∑ (∑)2 ∑(∑)2 ∑2 ∑∑2 若 则 　 2.方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 临介值F0 因素A SA r-1 SA/r-1 Fα（r-1,n-r） 误差E SE n-r SE/n-r 总和T ST n-1 四、例题 例1　设有4种机器制造同一产品，对每种机器各观测三天的产量，而机器与机器之间产量是否存在真正差异？ 机器 重复 A1 A2 A3 A4 1 2 3 1 2 3 5 3 5 6 6 6 3 2 4 ∑ ∑ (∑)2 ∑2 6 36 14 13 169 59 18 324 108 9 81 29 46 610 210 解：1、计算 2.方差分析 方差来源 平方和 自由度 均方 F F0..01（3，8） 因素A 误差E 总和T SA=27 SE=7 ST=34 3 8 11 9 0.88 10.2** 7.59 变异来源 平方和 自由度 均 方 F 值 p值 处理间 27.0000 3 9.0000 10.8000 0.0035 处理内 6.6667 8 0.8333 总变异 33.6667 11 ，多水平多次试验值为Xij(i=1,2,…,ni,j=1,2,…,r) ， 水平 重复 A1 … Ar X11 ┆ X n1,1 … X1r ┆ ∑ ? ? ? SA=Q-P，SE=R-Q，ST=R-P FA=r-1，fE=n-r，fT=n-1 F=F(r-1,n-r)= ，查表α=0.01,0.05,0.10 例2　试验6种不同的农药，看它们在杀虫率方面有无明显的不同。试验结果如下： 水平 重复 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 1 2 3 4 87.4 85.0 80.2 90.5 88.5 87.3 94.7 56.2 62.4 55.0 48.2 92.0 99.2 95.3 91.5 75.2 72.2 解：农药试验的数据有效位数多，计算麻烦，采用四舍五入，只取两位有效数字，如87.4取成87，等。用简化后的数据同减去80，列表计算，其结果与原来的近似，计算大大简化，这是在手算中经常采用的一种简化方法。 农药试验（简化）计算表 水平 重复 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 1 2 3 4 7 5 0 11 9 7 15 －24 －18 －25 －32 12 19 15 12 －5 －8 ∑ ∑ ∑2 12 48 74 42 441 476 -42 882 900 -57 1624.5 1649 58 841 874 -12 48 90 1 3884.5 4063 　　R＝4063 ST=R-P=406