利用加减法判断函数的奇偶性2.docVIP

利用加减法判断函数的奇偶性 (新疆财经大学应用数学系) 【摘要】函数的奇偶性是函数的基本性质之一不论是何种函数，都必须与函数性质相关联，函数性质是函数知识的重点内容因此在中，针对不同的函数类别及函数性质的应用，归纳出一定的解题思路是很有必要的，本文就奇偶性函数的奇偶性法方面常规的解题思路。关键词 函数知识奇偶性函数性质解题思路 f(x)或y= y(x)；其中x称为自变量，y称为因变量。x的变化范围就是函数的定义域，记为Ｉ；与x相应的y的变化范围，称为x的函数值，它的全体就是函数的值域，记为Z（Ｆ）。 二、函数的性质函数的有界性 f(x)对于某区间内的所有x值，总有|f(x)|≤M 。其中M是与x 无关的正常数，则称f(x)在该区间内为有界函数。例如：函数y=sinx在（-∞，+∞）内是有界的，因|sinx|≤1，当x取任意实数时都成立；这里M=1。 2、函数的单调性 f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是严格增函数。 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是严格减函数。 如果函数f(x)在某个区间上总是严格增（或严格减）函数，则称f(x) 在这个区间上是单调的，这个区间称为f(x)的单调区间。 3、函数的周期性 对于函数y= f(x)，如果存在一个不等于零的常数T，使得当x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数y= f(x)叫做周期函数。常数T≠0，叫做这个函数的周期；如果在所有周期中存在一个最小正数，这个最小正数叫做最小正周期。例如：y=sinx是周期函数，2kπ（k∈z，k≠0）是它的周期，最小正周期是2π。 4、函数的奇偶性轴对称。 图1 图2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 Y=|x| 3 2 1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 Y= X2 9 4 1 0 1 4 9 表1 表2 可以看到两个函数的图像都关于y轴对称从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同对于函数f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）事实上，对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）此时，称函数y＝x2为偶函数 - - -1 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f（x）=x -3 -2 -1 0 1 2 3 表3 表4 由上图可以看到两个函数的图像都关于原点对称函数图像的这个特征反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值也是一对相反数，即对任一xR都有f（x）＝f（x）此时，称函数y＝f（x）为奇函数的定义域内任意一个： (a) 是偶函数； (b)是奇函数； 理解定义是应用概念的前提，所以应注意认识以下两点： (Ⅰ)、定义中要求对于函数的定义域内任意一个x，都有“”成立，可见必有意义，即 也属于的定义域，即自变量的取值要保持任意性。于是有奇（偶）函数的定义域是一个对称数集（在数轴上表示为关于原点对称的点集）。也就是说：函数定义域是否关于原点对称是判断一个函数奇偶性的前提条件，若函数定义域关于原点不对称，则函数一定不是奇函数，也一定不是偶函数；所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 (Ⅱ)、定义中的等式（或）是定义域上的恒等式，而不是对部分成立。 (二) 函数奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立； ③、可逆性： 是偶函数； 是奇函数； ④、等价性：； ； ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； ⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为三类：奇函数、偶函数、非奇非偶函数； (三) 函数奇偶性的判断 由前面可知，函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、非奇非偶函数等三种情况；判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义；主要考查是否与、 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系哪个成立； （ ①、②分别是函数具有奇偶性的两个必要条件，若两个条件同时成立，联袂作用，使成为充要条件。）具