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关于关于抽象函数错题分析 李 瑾 笔者曾经参加了《徐汇教育丛书——都是f()惹的祸》（上海交通大学出版社，2004年1月出版）的第8章至第13章编写工作，这一部分较详尽地叙述了关于抽象函数的性质、背景、解决方法等问题。然而非常遗憾的是出版以后，笔者发现在编题过程中的一个错误： P100例18： 已知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点（-1，0）成中心对称，当x∈[-1,0]时，有f(x)=x3,求f(x)在 [-2,2]上的解析式。 解：由于函数图象关于点（-1，0）成中心对称，又是奇函数，则 f(x)=-f(-2-x), 且 f(x)=-f(-x), 得 f(-2-x)= f(-x)， 即 f(x)=f(x+2),T=2. 当x∈[0，1]时， -x∈[-1,0]， 则 f(x)=-f(-x)=x3 当时， , 则 f(x)=f(x-2)=(x-2)3 当时, x+2∈[0,1], 则 f(x)=f(x+2)=(x+2)3 在编写中，笔者只侧重了关于点对称、周期在求函数解析式的用途，而忽略了题目条件潜伏着弊病。因为通过以上过程中求出的函数解析式可得：f(1)=1,f(-1)=-1,也就是不符合T=2的函数性质。所以本题应改为“当x∈时，有f(x)=x3,求f(x)在 上的解析式”比较妥当。 无独有偶，笔者在高三教学过程中，在查阅一些资料和学生答疑过程中也发现抽象函数在编题过程中，是非常容易犯类似错误的： 例：若函数f(x)同时满足： （1）?????? 对于任意实数x,y均有f(x-y)+f(y)=x(x+4y+2); （2）?????? f(1)=0; （3）?????? x∈(-1,0)时，f(x)-26x+a恒成立。 求实数a的取值范围。（摘自《高中数学综合性应用学习（高考模拟篇）》P98，上海大学出版社） 第（1）小题有以下若干种解法： 解法一：令y=1,则f(x-1)+f(1)=x(x+4+2),得f(x-1)=x(x+6), 于是令x-1=t,则x=t+1,得f(t)=(t+1)(t+7)=t2+8t+7.即f(x)=x2+8x+7 解法二：令x=1,y=0,则f(1-0)+f(0)=1?(1+0+2),f(0)=3 于是再令y=0,那么f(x-0)+f(0)=x(x+0+2),得f(x)=x(x+2)-3=x2+2x-3. 解法三：令x=y=1,则f(1-1)+f(1)=1?(1+4?1+2)=7,则f(0)=7 于是再令y=0,那么f(x-0)+f(0)=x(x+0+2),得f(x)=x(x+2)-7=x2+2x-7. 为什么会有如此多的解法呢，但答案却不一致呢？ 关键是根据本题的条件可以找到漏洞： 比如：令x=2,y=1,f(2-1)+f(1)=2?(2+4?1+2),得2f(1)=16,得f(1)=8.与条件中的f(1)=0矛盾，所以会产生不同的函数解析式。 例：已知函数，当点（x,y）在曲线y=f(x)上运动时，点在曲线y=g(x)上运动。 （1）?????? 求g(x)的表达式； （2）?????? 若h(x+1)=-h(x)，当时，h(x)=g(x)，求h(2003.3)的值。 （摘自《中学数学教学参考》2004.1-2，P50，陕西师范大学主办） 由第（1）小题易得： 而对于第（2）小题：学生会有这两种做法： 解法一：因为h(x+1)=-h(x)， 所以h(x+2)=-h(x+1)=h(x),由此得 T=2。 所以h(2003.3)=h(-0.7)= 解法二:……得到T=2，又因为h(x+1)=-h(x)， 所以h(2003.3)=h(1.3)=-h(0.3)=. 这两种解法笔者认为都没有问题，而之所以会产生两个不同答案，其实还是题意本身所在的缺憾：其实这个函数在已经不符合T=2的特性，所以才产生了差错。 同样，在刚刚结束的2005年的全国各地高考中，福建高考数学试卷一选择题引起了争议，原题是这样叙述的： 数学（理工科）选择题第12题题目：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0,则方程f（x）＝0在区间（0,6）内解的个数的最小值是（ ） 　　A．2B．3C．4D．5 　　许多老师和同学对该题进行反复论证。结论是，该试题的A、B、C、D四个选项中没有包含正确答案。此题具体这样解答： 　　∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝0。∵f（x）是以3为周期