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关于双曲线的渐近线的学习 浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙 在双曲线的几何性质中，渐近线是双曲线所特有的性质，因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助。在学习这部分内容时，应注意以下几点： （1）明确双曲线的渐近线是哪两条直线。过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线。画双曲线时，应先画出它的渐近线。 （2）理解“渐进”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的。也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0。 （3）掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法。最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程。 （4）掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的方法。我们不妨先看下面这个具体的例子。 例：求与双曲线有共同的渐近线，并且过点A（）的双曲线的方程。 解法1：由于双曲线的方程是，所以其渐近线的方程是，容易判断点A（）在直线的上方，故所求双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程是。 根据已知条件有，解得，。 所以所求双曲线方程是。 解法2：实际上，与双曲线有共同渐近线的双曲线方程都可以表示（）的形式。 当时，所求双曲线的焦点在轴上，这时其渐近线方程是； 当时，所求双曲线的焦点在轴上，这时双曲线的标准方程是，其渐近线方程是。 所以，可设双曲线方程是。 由于点A（）在双曲线上，所以有，∴。 故所求双曲线方程是。 结论1：与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可表示为（，）。 结论2：若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可表示为（，）。（可以先变形为，这样就与结论1一致了） 以上四点是学习双曲线的渐进线时应该掌握的，学好了双曲线的渐近线，就可以帮助我们学好双曲线的几何性质。