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数列型不等式的放缩技巧 一 利用重要不等式放缩 均值不等式法 例1 设求证 解析 此数列的通项为 ，， 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用。 例2、求证 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质可得 即 二 部分放缩 例9 设求证： 解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），， 于是 例10 设数列满足，当时证明对所有 有；（02年全国高考题） 解析 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 例12 设数列满足 （Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题） 简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步）； 法2 则 例20 已知数列的前项和满足 （Ⅰ）写出数列的前3项；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数，有（04年全国卷Ⅲ） 简析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） ； （Ⅲ）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当且为奇数时 （减项放缩），于是 ①当且为偶数时 ②当且为奇数时（添项放缩）由①知由①②得证。 2．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2) 求证： 解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以， ， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数． （1）求a4、a5，并写出an的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. 解（1）由已知得，. （2）因为， 所以. 又因为， 所以 　　　　　　　　　　　　　 =. 综上，. 注：常用放缩的结论：（1） （2）． 在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为  人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。