高考数学大一轮复习48三角函数模型及解三角形应用举例教师用书理苏教讲解.docVIP

§4.8　三角函数模型及解三角形应用举例 1．三角函数模型的简单应用 2．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 3．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 4．解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别．(　×　) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系不能确定．(　×　) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.(　×　) (4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设α为坡角，那么cos α＝.(　×　) (5)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　√　) 1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________. 答案　130° 解析　由已知∠BAD＝60°， ∠CAD＝70°， ∴∠BAC＝60°＋70°＝130°. 2．已知△ABC，C为坐标原点O，A(1，sin α)，B(cos α，1)，α∈，则当△OAB的面积达到最大值时，α＝______. 答案　 解析　∵S＝1－×1×sin α－×1×cos α－(1－cos α)(1－sin α) ＝－sin αcos α ＝－sin 2α. ∴当α＝时，S取到最大值． 3．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为________． 答案　或2 解析　如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°， 由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°， 整理，得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2. 4．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于________． 答案　 解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20. 由正弦定理，得 sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝. 故cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝. 题型一　测量距离、高度问题 例1　(1)(2014·四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73) (2)某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高． 思维点拨　(1)利用正弦定理解△ABC.(2) 依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)． (1)答案　60 解析　根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝，所以BC≈2××0.60＝60(m)． (2)解　如图所示，某人在C处，AB为塔高， 他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°， 在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，