第7章 梁弯曲变形的计算讲义.pptVIP

例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。 变形协调方程为： FB MA FA yB1 FB MC FC yB2 物理关系 解 FB FB MA FA MC FC yB1 yB2 代入得补充方程： 确定A 端约束力： FB FB MA FA MC FC yB1 yB2 确定C 端约束力 MA FA MC FC A、C 端约束力已求出 最后作梁的剪力图和弯矩图 例8：结构如图所示，设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同，拉杆BC的拉压刚度EA为已知，求拉杆BC的轴力。 解：将杆BC移除，则AB,CD均为静定结构，杆BC的未知轴力FN作用在AB、CD梁上，如图（b）、（c）所示。为1次超静定。 对于AB梁： 对于CD梁： BC杆的伸长： 材料力学 第7章 弯曲变形的计算 §7-1 概述 §7-2 挠曲线的近似微分方程 §7-3 用积分法求弯曲变形 §7-4 用叠加法求弯曲变形 §7-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施 §7-5 简单超静定梁 本章主要内容 §7-1 概 述 §7-2 挠曲线的近似微分方程 1.基本概念 挠曲线方程： 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计 挠度转角关系为： 挠曲线 挠度 转角 挠度w：截面形心在y方向的位移 向上为正 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正 2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到： 忽略剪力对变形的影响 由数学知识可知： 略去高阶小量，得 所以 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为： 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。 挠曲线的近似微分方程为： 积分一次得转角方程为： 再积分一次得挠度方程为： 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。 位移边界条件 光滑连续条件 －弹簧变形 例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。 解 1）由梁的整体平衡分析可得： 2）写出x截面的弯矩方程 3）列挠曲线近似微分方程并积分 积分一次 再积分一次 A B F §7-3 用积分法求弯曲变形 4）由位移边界条件确定积分常数 代入求解 5）确定转角方程和挠度方程 6）确定最大转角和最大挠度 A B F 例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。 解 1）由梁整体平衡分析得： 2）弯矩方程 AC 段： CB 段： 3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： CB 段： 4）由边界条件确定积分常数 代入求解，得 位移边界条件 光滑连续条件 5）确定转角方程和挠度方程 AC 段： CB 段： 6）确定最大转角和最大挠度 令 得， 令 得， §7-4 用叠加法求弯曲变形 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为 ，挠度为w，则有： 若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，则有： 由弯矩的叠加原理知： 所以， 故 由于梁的边界条件不变，因此 重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。 例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度wC ；B截面的转角?B 1）将梁上的载荷分解 wC1 wC2 wC3 2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。 解 wC1 wC2 wC3 3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和 例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角?C 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。 解 3）将结果叠加 2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。 §7-5 简单超静定梁 1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用静力平衡条件求其他约束反力。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。 例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度