双曲线的简单几何性质1.docVIP

《 双曲线的简单几何性质》（文倾）教学案 一、课标研读 课程标准：经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，了解几何图形及简单性质。 课标研读：在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。 二、教材分析： 1.在教材中的地位、作用：本课是在学生学习了双曲线的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。研究方法在椭圆时用过，后面学习抛物线时也要用到。 2、学习目标： （１）知识与技能：掌握双曲线的范围、对称性、顶点，掌握离心率的定义及其几何意义几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 （2）过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。 （3）情感态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；让学生体会双曲线方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。 3、重点、难点 重点：双曲线的几何性质，各元素间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质； 难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题。 三、学情分析：对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质已经不是第一次，在椭圆中已经接触过，学生已基本掌握了研究问题的方法和思路，因此教学中不妨多放手给学生，但教师要注意适当引导、点拨。 四、教学策略 师生共同讨论法通过师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生明确的几何性质的研究方法，加强对性质的理解，掌握的几何性质. 的几何性质的几何性质的几何性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一． 下面我们类比椭圆的几何性质来研究双曲线的几何性质． 　1、范围 已知双曲线，得出不等式，即 ．这说明双曲线位于直线 和直线 所夹平面区域的外侧. 引导学生从标准方程，得出不等式，即．这说明双曲线位于直线x=a和x=-a所夹平面区域的外侧，如图所示。注意结合图形讲解。 2、对称性 观察图像，可知双曲线是以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形，也是以 为对称中心的中心对称图形。双曲线的对称中心是 引导学生观察（1）中图形，说明双曲线的对称性。小组讨论，根据方程的特征说明双曲线的对称性。 3、顶点 引导学生从双曲线的标准方程，分析它与 轴、 轴的交点，令 得 ，点 、 是双曲线与 轴的两个交点；令 得，此方程无实数根，说明双曲线与y轴没有公共点。 （1）双曲线与对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点。 （2）双曲线的顶点是、 ，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的两点。 （3）线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a. （4）在y轴上作点、 ，线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b. （5）a,b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长。 4、渐近线 分析：不妨先考虑双曲线在第一象限内的那一部分，这一部分曲线方程可表示为 ，可知；又因为b0，所以 。 这说明在第一象限内，双曲线C上的任意一点M(x,y)总是位于直线的下方。 如图示，过点M作直线的垂线MP，则M到直线的距离 = = = 因为当xa时，随着x的增大而 ，所以随着x的增大而 ，可知当x越来越大时，越来越接近于0。这说明当点M以双曲线C的顶点开始在第一象限沿此曲线移动，并越来越远离时，点M和直线就 由此可见，此双曲线右支向右上方无限延伸时，它总在直线的下方，且与直线越来越接近，但不会相交。 根据双曲线的对称性可知，双曲线C向外无限延伸时，总是局限在直线和直线相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并与这两条直线无限接近，但永远不会与这两条直线相交，如图所示。 双曲线的渐近线是 和 思考：双曲线的渐近线方程式是什么？ 为什么？ 教师提出问题，学生思考，交流讨论，教师小结 5、离心率 双曲线的焦距与实轴的比 ，叫做双曲线