高等数学第六章定积分应用试题及答案讲解.docVIP

第六章 一元函数定积分的应用 一、微元法（元素法） 实际问题中可化为定积分来计算的待求量A，一般总可按“分割、近似求和、取极限”这三个步骤导出它的积分表达式。但为了简捷实用起见，常常采用微元法（又称元素法）。 微元法的关键就在于寻找待求量A的微小增量（部分量）能近似表达为的线性形式， 而且当时，，亦即，其中为上的某一个连续函数。量称为待求量的微元素。然后把在上积分，即待求量。这就是微元法。在采用微元法时，必须注意如下几点： （1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题。（2）待求量A具有以区间的可加性，即A=；（3）取好微元，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定的线性主部，这关系到结果正确与否的问题。 定积分的几何应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形 求与与所围图形的面积 方法（1）以x为积分变量 由解出两个常数值，，面积元素=，面积=，（）。 方法(2) 以y为积分变量 由、解出的两个表达式，， 再根据解出的两个常数值，，面积元素 =，面积=，（）。以x还是y为积分变量，要视具体情况分析，总之要让计算最简单。 （1）X — 型平面图形的面积 （2） Y — 型平面图形 2．参数方程情形 求、、以及x轴所围图形的面积（），如果曲边的方程为参数方程为， 则其面积 =，其中 3．极坐标情形 设平面图形是由曲线 及射线，。(为积分变量，其变化区间为[(,(],的面积可近似地用半径为， 的窄圆边扇形的面积来代替，，从而得到了曲边梯形的面积元素 ，从而 1.求；x = 0以及x =所围平面图形的面积。 解：设所求面积为S，于是，根据三角函数性质，有：当或者时，， 当时，， 2. 求椭圆 （）的面积。 解：由椭圆的对称性，可限制的范围为：。 由于面积微元为：dS =| y||dx|=|3||d|= 面积S为： 3.求轴与摆线,围成的面积 解：S 　　　 4. 星形线()围成的面积. 解：S = 5.求对数螺线及射线所围成的图形的面积。 。 6.求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。 解：设切点为，则切线的斜率， 切线方程为，又切线通过点则，得故切线方程为 于是 7.求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。 解过焦点的弦的方程为其中为弦的倾角。 由 ，， 得且，于是 由，当时，达最小值为1，故S的最小值为 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1）求圆与双扭线围成的图形的面积。 解 由和 解得交点坐标是：和， 于是根据图形的对称性，我们只需要 求第一象限的图形的面积。 所以所求的面积为： = （2）与 解： （3）与 ， 由对称性知= (4)与 解 面积 9.与内的公共部分的面积。 解：设所面积为S，由图形的对称性， 我们只需求出上半部分的面积。 作极坐标变换，令： 将变换关系代入x2 + y2 = 4与x2 + y2 = 4x，整理后得到极坐标系下两曲线的方程形式为：； ， 由此解得交点坐标为：；，这样，我把图形分割成了两个部分， （1），（2），， 10.在椭圆位于第一象限的部分上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围图形的面积为最小（其中，）。 解：设， 切线方程为：，X轴截距，y轴截距 ，面积最小，即乘积最大，设， ，值最大，所以面积最小。 二、体积 1．旋转体的体积 在上 ，曲线、直线与x轴， 围成的曲边梯形。 （1）轴旋转一周形成旋转体 取为积分变量，，上的任一区间，轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，。： 旋转体体积。 （2）轴旋转一周形成旋转体： 方法一：取为积分变量，，上的任一区间，为底半径，以f(x)为高的圆柱体体积”与“以为底半径，以f(x)为高的圆柱体体积”之差。 即 略去高阶无穷小部分，得 所以所求得几何体体积为 方法二：由计算出曲线x=g (y)，由计算出， 旋转体体积 （3）若(1) 给出，且，则 2．旋转面的侧面积 （1）若光滑曲线AB的方程为，则由AB绕x轴旋转一周所得旋转面的侧面积 （2）若光滑曲线AB的方程为绕 y 轴旋转。 1．把及直线所围成的图形绕y轴旋转， 计算所得旋转抛物体的体积。 解法1：由于抛物线上边界与下边界的方程分别为： ； 那么，在x处（）细长条旋出的微小体积为 所以所求得体积为：