二次函数的实际应用之利润最大值、面积最值问题讲解.docVIP

二次函数的实际应用——最大利润问题、面积最大(小)值问题 一：最大利润问题 知识要点： 二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）． 即当时，函数有最小值，并且当，； 当时，函数有最大值，并且当，． 如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则当，，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内随的增大而增大，则当时，，当时，； 如果在此范围内随的增大而减小，则当时，，当时，． [例]：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= ﹣2x+100 ．（利润= 售价﹣制造成本） （1 ）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式； （2 ）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3 ）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解：（1 ）z= （x -18 ）y= （x -18 ）（-2x+100 ）= -2x2+136x-1800 ，z 与x 之间的函数解析式为z= -2x2+136x-1800 ；（2 ）由z=350 ，得350= -2x2+136x -1800 ， 解这个方程得x1=25 ，x2=43 所以，销售单价定为25 元或43 元， 将z =-2x2+136x-1800 配方，得z=-2 （x-34 ）2+512 ， 因此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万元；（3 ）结合（2 ）及函数z=-2x2+136x ﹣1800 的图象（如图所示）可知， 当25≤x ≤43时z ≥350 ， 又由限价32 元，得25 ≤x ≤32 ， 根据一次函数的性质，得y=-2x+100 中y 随x 的增大而减小，当x=32 时，每月制造成本最低最低成本是18 ×（-2 ×32+100 ）=648 （万元），因此，所求每月最低制造成本为648 万元．．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 元，利润为元， 为涨价时的利润，为降价时的利润 则： 当，即：定价为65元时，（元） 当，即：定价为57.5元时，（元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大． [例]： 市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量千克与销售单价元）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出与的函数关系式； 设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围直接写出答案．解：设y=kx+b由图象可知，， 即一次函数表达式为． ∵ ∴P有最大值．时，（元） （或通过配方，，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元． ∴31≤x≤34或36≤x≤39．．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元． （1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式． （2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？ （3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成