第九章 第6节 多元函数微分学的几何应用要点.pptVIP

* 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 * 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 * 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. * 例1.求曲线 在点M (1, 1, 1)处的切线 方程与法平面方程. 解 点(1, 1, 1)对应于 故点M 处的切向量为 因此所求切线方程为 法平面方程为 即 * 解 切线方程 法平面方程 * 空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： * * 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 二、曲面的切平面与法线 * 在光滑曲面? 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处的切线都在同一平面上. 命题 事实上, 因 两边对 t 求导, * 表明这些切线都在以 的同一平面上 ， 从而切平面存在 . * 曲面 ? 在点 M 的法向量 法线方程 切平面方程 * 解 令 所求切平面方程为 法线方程为 * 特殊地：空间曲面方程为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 * 其中 则法向量的方向余弦为 * 解 切平面方程为 法线方程为 * 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 * 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) * ,使曲面 与球面 例7 确定正数 在 解 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 则有 又点 M 在球面上, 于是有 相切. ∥ * 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 （当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法） （求法向量的方向余弦时注意符号） 三、小结 *