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2. 无界弦的受迫振动 3、端点固定半无界弦的自由振动 （三）达朗贝尔公式的应用 4、端点自由半无界弦的自由振动(续) 偶函数 将 做偶延拓，从半无界区域扩展到无界区域， §2.1 一维波动方程的达朗贝尔解 （三）达朗贝尔公式的应用 4、端点自由半无界弦的自由振动(续) 则半无界弦问题变为无界弦自由振动问题 由达朗贝尔公式： §2.1 一维波动方程的达朗贝尔解 一维波动方程的初值问题： 行波法——达朗贝尔公式 三维波动方程的初值问题： §2.2 高维波动方程的初值问题（补充） 球面平均法——基尔霍夫公式 （一） 三维波动方程的球对称解 三维波动方程的初值问题 (1) (2) 其中 与 为已知函数。 §2.2 高维波动方程的初值问题（补充） 将波动方程在球坐标系下展开， 球对称 u只与r有关，与方位角 无关，即 §1.3 定解条件 （一）初始条件 ——描述系统的初始状态 初始时刻的温度分布： 2、热传导方程的初始条件 3、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，无初始条件 1、波动方程的初始条件 系统各点的初位移 系统各点的初速度 初始条件应当给出整个系统的初始状态，不能仅给出个别地点的初始状态。 §1.3 定解条件 （二）边界条件 ——描述系统在边界上的状况 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用: 1、波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为： 或： (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承： 第一类齐次边界条件 第二类齐次边界条件 第三类齐次边界条件 胡克定律： §1.3 定解条件 （二）边界条件 ——描述系统在边界上的状况 2、热传导方程的边界条件 (1) 边界上温度恒定 S:给定区域 v 的边界 (2) 绝热状态 (3)自由冷却状态 牛顿冷却定律： 第一类齐次边界条件 第二类齐次边界条件 第三类齐次边界条件 §1.3 定解条件 （二）边界条件 ——描述系统在边界上的状况 3、稳定场方程的边界条件 (1) 第一类边界条件 S:给定区域 v 的边界 (2) 第二类边界条件 (3) 第三类边界条件 S:给定区域 v 的边界 S:给定区域 v 的边界 齐次边界条件 齐次边界条件 §1.3 定解条件 （二）边界条件 ——描述系统在边界上的状况 4、边界条件举例 求解均匀细杆的微小纵振动问题： 1）若两端固定： 2）若两端自由 且不受力： 泛定方程： 非齐次边界条件 3）若两端自由 且受力： 边界条件推导过程： （第二类边界条件） （三）定解条件举例 §1.3 定解条件 求解均匀细杆的微小纵振动问题： （第三类边界条件） （三）定解条件举例 §1.3 定解条件 细杆导热问题 杆的端点 自由冷却，即杆的端部与周围介质（温度为T）按牛顿冷却定律交换热量。 (热传导定律) (牛顿冷却定律) 泛定方程： 边界条件： §1.4 定解问题 （一）定解问题及相关概念 1、定解问题 (1)初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 把某种物理现象满足的偏微分方程(泛定方程)和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 §1.4 定解问题 （二）定解问题的适定性 定解问题的适定性检验： 解的存在性：定解问题是否有解； 解的唯一性：是否只有唯一解； 解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否相应微小变动。 不适定问题： 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数： 如条件多了，将会破坏解的存在性； 如条件少了，将会破坏解的唯一性。 适定性的意义： 定解问题是实际问题的数学模型，其适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。 §1.4 定解问题 （三）叠加原理 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程 叠加原理应用： 1）齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解； 2）非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解； 非齐次方程 齐次方程 例 一根长为 的弦，两端固定于 和 ,在距离坐标原点为 的位置将弦沿着横向拉开距离 ，如图所示，然后放手任其振动，试写出定解问题。 x u o b l h 7 解：弦自由振动满足波动方程 边界条件： 初始条件： §1.4 定解问题 定解问题小结 定解问题 泛定方程 定解条件 波动方程 热传导方程 拉普拉斯方