极端原理与无穷递降.docVIP

极端原理与无穷递降法 一、最小数原理、极端原理、极端原则 最小数原理：自然数集组成的非空子集中，一定有一个最小数 极端原理：有限个实数组成的非空集合中，一定有一个最大数，也一定有一个最小数 极端原则：要从某堆东西中找出某件东西，如果能根据这些东西的某种特征让它们排成一行，使得那件东西或者排在第一个或者排在最后一个，从而把它找出来，这种方法称为极端原则 例1、（1）在平面上有个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这个点中的两个点 （2）给定空间中个不共面的点，试证：必存在一个恰好经过三个给定点的圆 例2、（1）平面上有个点，任意三点不共线，证明：可以以这个点为顶点连成一个边不自相交的简单边形 （2）平面上有个点，任意三点不共线，其中有个红点与个蓝点，证明：可以把这个点连成条互不相交的线段，而且线段的两端不同色 例3、（1）平面上有个点，，或是红点或是蓝点，而且任意三个同色点不共线，证明：存在一个三个顶点同色的三角形，该三角形至少有一条边上不含另一种颜色的点 （2）空间中有个点，或是红点或是蓝点，而且任意四个同色点不共面，证明：存在一个四个顶点同色的四面体，该四面体至少有一侧面不含另一种颜色的点 例4、在一个环形公路上有个汽车站，每一站都存有若干汽油，个站的总存油量可供一辆汽车在环形公路行驶一圈，现有一辆原来没有汽油的汽车，要在环形公路上按规定的方向跑一圈，它从某一站出发，带上这个站的全部存油，如果能走到下一站，又把该站的存油全部带上，证明：必有一个站，汽车从该站出发，可以环行一周而不会因为缺油而中途停车 例5、有个人围坐在一张圆桌旁，每个人在席中至少有个朋友，证明：可以适当安排他们的座位，使得任意两个相邻的人是朋友 例6、在某次舞会上，每一个男孩都未能与所有的女孩跳过舞，而每一个女孩都至少与某一男孩跳过舞，证明：舞会上有这样的两个男孩与两个女孩，他们可以结成两对，同一对的男孩与女孩跳过舞，不在同一对的男孩与女孩没有一起跳过舞 例7、证明：（1）任何一场循环赛中必有冠军； （2）如果循环赛中的冠军只有一位，则他必是绝对冠军； （3）任何一场循环赛都不可能恰好有两名冠军 例8、（1）在方格表上填写个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于； （2）在方格表上填写个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于； （3）在方格表上填写个数，每格填一个数，证明：总有相邻的两格，格中两数之差的绝对值不小于 例9、（1）平面上有五个点，其中任意三点不共线，求证：其中必有四个点能构成一个凸四边形； （2）平面上有个点，，任意三点不共线，求证：其中必有个以给定点为顶点的凸四边形；（3）平面上有个点，，任意三点不共线，求证：其中必有一个以给定点为顶点的凸四边形，该四边形内部没有其他给定点 例10、名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然不完全相同 二、无穷递降法 例11、若干个球装在个袋子中，满足：如果任意取走一个袋子，总可以把余下的个袋子分成两组，每组各有个袋，且两组袋中的球的个数相等，证明：这个袋子中的球的个数都相等 例12、已知正整数，满足整除，证明是某一个正整数的平方。 三、排序原理 例13、（1）平面上有个点，任意三点不共线，任意四点不共圆，问：能不能通过其中某三个点作一个圆，使得其余个点一般在圆内，一半在此圆外？ （2）已知空间有个点，证明：可以过其中某个点做一平面使得该平面两侧均有个点 （3）平面上有个点，任意四点不共线，其中有个点涂成红色，有个点涂蓝色，证明：存在一条直线，它将平面分成两个部分，每个部分各有个红点与个蓝点 极端原理与无穷递降法 1、已知为非空整数集合，且对于的任意一个排列，若则（1）证明：中至少有两个集合相等；（2）这三个集合是否可能有两个集合无公共元素 2、设元集合的某些三元子集组成集合，且中每两个元素（子集）之间至多有个公共元素，证明：存在集合，使得，且中的任何元素都不是的子集 3、厦门一中级数学兴趣小组的名同学举行场乒乓球单打比赛，每人至少上场一次，求证：必有场比赛，其个参赛者各不相同 4、已知是实数，和均为正整数，令 求证：在中必存在两个数，使成立 5、求方程的整数解 6、在平面上有个不全共线的点，试证：一定存在一条直线恰好经过这个点中的两个点 7、某个星系的每一个星球上都有一位天文学家在观测最近的星球，若每两个星球间是距离都不相等，证明：当星球个数我奇数时一定有一个星球任何人都看不到 8、若干个儿童围成一圈，他们手中都拿有一些糖块，规定进行如下传递，每次的传递方法是：如果某人手中的糖块数是奇数，则他可再领取一块，然后每人都把手中的糖