2015线性代数往届试题要点.ppt

2014.07考试 已知R3的线性变换: T(a, b, c)=(a+2b–c, b+c, a+b–2c), 则 T(Vn)的维数为 , 基为 . 2 (2, 1, 1)T, (1, 0, 1)T 为 , 基为 核的维数和基 值域 2012.07 考试 2011.07 考试 2010.07考试 2010.07 考试 2013.01 考试 f =2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x2x4+2x3x4 2014.01考题例3: 求一个正交变换x=Py, 把二次型 化为标准形. 解: 二次型的矩阵为 A的特征多项式为 计算特征多项式: 把二, 三, 四列都加到第一列上, 有 把二, 三, 四行分别减去第一行, 有 从而得A的特征值: ?1=–3, ?2=?3=?4=1. 当?1=–3时, 解方程组(A+3E)x=0, 得基础解系: 单位化即得 当?2=?3=?4=1时, 解方程组(A–E)x=0, 可得正交的基础解系: 单位化即得: 于是正交变换为: 且有 f = –3y12 + y22 + y32 + y42. 2014.07考题 2012.07考题 2010.05考试 2011.07考题 2013.07考题 2011.07考试 2014.07 考试 第六章 线性空间与线性变换 习 题 课 §6.1 线性空间的定义与性质 §6.2 线性空间的维数、基与坐标 §6.3 基变换与坐标变换 §6.4 线性变换 §6.5 线性变换的矩阵表示 线性空间的基与维数 定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素?1, ?2, ···, ?n?V, 满足: (1) ?1, ?2, ···, ?n 线性无关; (2) V中任意元素?总可以由?1, ?2, ···, ?n线性表示, 则称?1, ?2, ···, ?n为线性空间V的一个基, 称n为线性空间V的维数. 元素在给定基下的坐标 定义: 设?1, ?2, ···, ?n为线性空间Vn的一个基, 对任意??V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, ···, xn, 使 ? = x1?1+x2?2+···+xn?n , 则称有序数组 x1, x2, ···, xn 为元素?在基?1, ?2, ···, ?n下的坐标, 并记作? = (x1, x2, ···, xn)T. 基变换公式与过渡矩阵 设?1, ?2, ···, ?n及?1, ?2, ···, ?n是n维线性空间Vn的两个基, 且有 称以上公式为基变换公式. 在基变换公式中, 矩阵P称为由基?1, ?2, ···, ?n到基?1, ?2, ···, ?n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的. (?1, ?2, ···, ?n)=(?1, ?2, ···, ?n)P 将上式用矩阵形式表示为: 坐标变换公式 定理1: 设n维线性空间Vn中的元素?, 在基?1, ?2, ···, ?n下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 在基?1, ?2, ···, ?n 下的坐标为: (x1?, x2?, ···, xn?)T, 若两个基满足关系式: (?1, ?2, ···, ?n)=(?1, ?2, ···, ?n)P. 则有坐标变换公式: 或 反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换公式, 则两个基满足基变换公式: (?1, ?2, ···, ?n)=(?1, ?2, ···, ?n)P. 线性变换在给定基下的矩阵 定义: 设T是线性空间Vn中的线性变换, 在Vn中取定一个基?1, ?2, ···, ?n, 如果这个基在变换T下的象为 其中 T(?1, ?2, ···, ?n)=(T(?1), T(?2), ···, T(?n)), 则上式可表示为 记 T(?1, ?2, ···, ?n)= (?1, ?2, ···, ?n)A 则称A为线性变换T在基?1, ?2, ···, ?n下的矩阵. 线性变换在不同基下的矩阵 定理1: 设线性空间Vn中取定两个基: 由基?1, ?2, ···, ?n到基?1, ?2, ···, ?n的过渡矩阵为P, Vn中的线性变换T在这