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一、对坐标的曲面积分的概念与性质  多元函数极值 一、多元函数的极值和最值 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 二、条件极值与拉格朗日乘数法 条件极值：对自变量有附加条件的极值． 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的 解决条件极值问题的一般方法是 Lagrange乘数法——升元法 求 z = f ( x , y ) 其几何意义是 其中点 ( x , y ) 在曲线 L 上 x y z o z=f(x,y) L M无条件极值点 . P条件极值点 . 1. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 求线状物体的质量 m . 由物理学知道，如果一个物体在常力F作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ，物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为：W=F*s 这个公式只有在力F是不变的情况下才适用，但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的。下面我们通过例子来说明如何利用微元法来求变力所作的功。 例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力，求把弹簧拉长 0.1 m 需作多少功 一、变力沿直线作功 当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长量 x 之间有函数关系： F=kx k ——弹性系数 用微元法 由题设 9.8=0.02k k= 490 要求的是变力所作的功 F=490x 取 x 为积分变量 积分区间为 [0 ,0.1] 弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ）的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变化很小，可近似地看作是不变的（常力） 解 于是在小区间 [x， x +dx ]上对应的变力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490x 所作的功 如果积分区域为： ［X－型］ 其中函数 、 在区间 上连续. 二重积分的计算法(1) 一、利用直角坐标系计算二重积分 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 例1 求由两个圆柱面 围立体的体积. 解 二重积分的计算法（2） 一、利用极坐标系计算二重积分 直线段长度: 平面上曲线段长度 空间曲线段长度 平面块（平面区域）的面积 4-D曲面块面积？ 3-D曲面块面积 空间几何体的体积 点——线——面——体各积分公式的关系 一重定积分：N-L公式 二重积分：Green公式 三重积分：Gauss公式 四重积分： 。。。 维度曲线：一维直线，平面封闭曲线（Green 公式），3-D封闭曲线（Stokes公式）。。。 维度曲面：二维平面，3-D封闭曲面（Gauss 公式）， 4-D封闭曲面。。。 物理角度： 质量 直线段：定积分 曲线段（平面，空间）：第一型曲线积分 平面块：二重积分 曲面块：第一型曲面积分 3-D几何体：三重积分 做功：第二型曲线积分 流量：第二型曲面积分 微元法： 1.（平行截线为已知的平面区域面积） 2.平行截面为已知的立体体积 总式： 应用 1.旋转体体积 2.计算重积分（投影降重）： X-型区域（投影到X轴上） Y-型区域（投影到Y轴上） 二重积分 三重积分 先投影到平面上 先投影到坐标轴上 1.平面（空间）曲线的切线与法线 去掉可微的误差项 曲面的切平面与法线： 去掉可微的误差项 2.平面（空间）曲线之弧长，平面图形 （空间曲面）之面积，空间几何体之体积 3.平面（空间）曲线，曲面之曲率 几何应用： 做功，水压力，引力， 矩：质量，重心（质心），转动惯量等 物理应用： 级数 数列与级数： 数列 数列 函数列：也是数列，是带函数形式的数列 数项级数：正向级数收敛判别法 ① 幂级数：用正项级数收敛 判别法求收敛区间 ② 傅里叶级数（处理周期函数） 函数项 级数： (常数项数列) 函数点点有界与一致有界 函数点点连续与一致连续 函数列点点收敛与一致收敛 点点与一致（即局部与整体）： 例1 例2 但在[a，1）才一致有界 点点有界, 但在[a，1）才一致连续 例3 但在[a，1）才一致收敛 证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在区 例9 但仍有 确实不是一致 连续的. 总有 间I上不一致连续的定义： 试问, 函数 在区间I上一致连续与 在区 间I