高等数学同济大学(讲义和习题)ch分析报告.pptVIP

* 第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 本节要点 二、函数极限的性质 一、函数极限的定义 在上节中， 我们讨论了数列的极限．而数列是一种 特殊的函数——定义在正整数集上的函数． 函数的极限又应该如何定义呢？这一节将给出函数极 限的定义. 那么一般 引例 设函数 从图形中可以看出: 尽管函数在 点 处没有定义, 但当 x 趋近于 到, 对于 y 轴上任何一个以2为中 心，? 为半径的邻域，在 x 轴上都 1而不等于1时, 相应的曲线上的点 趋近于 ． 更进一步的可以看 可以找到一个相应的以1为中心、 为半径的去心邻域， 将上面的问题一般化，就得到函 在该邻域中的点所对应的直线上的点都落在 所围成的带形区域中. 数在有限点处极限的定义. 或 定义 设函数 在点 的某个去心邻域中有定义, 如果存在常数 A，使得对于任意给定的正数 ?，总存在 正数 ，对于满足 的一切 x ，都有 那么常数 A 就称作函数 当 时的极限, 记为 函数 在点 处的极限的几何意义. 曲线在矩形区域中 例 设函数 注: 函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有 定义、或 为多少没有关系, 则 该点附近的变化趋势. 它所反映的是 在 1 但 ，即极限与 的取值没有关系. 1 经过不等式后的变形, 如果能得到 则取 , 当 对于 ，考虑 时, 有 在点 的极限为 A 的方法: 注 函数 在点 的极限的定义已给出了证明函数 其中 M 是一个与 x 无关的常量. 即说明 例1 证明下列极限 ⑴ 证 ⑴因 即 ⑵ 所以 ，取 ， 当 ，有 ⑵因为 欲使 ，即 ， 所以 ，不妨取 ，令 ． 即 ? 当 时，有 只要 则 例2 证明 证 因为 所以对任意的 取 当 时， 即 ? 例3 证明 证 因为 即 ? 注意到，当 时, 有 对任意的 取 当 时， 从而 例4 证明 证 因为 当 时， ，所以 ? 即 对任意的 取 当 有 证 因为 例5 设 ，证明 对任意的 取 当 有 所以 ? 　可以证明：基本初等函数在定义域内的每点处的极限 都存在，并且等于函数在该点的值． 左、右极限 前面已讨论了函数 在某一点 的极限, 它反映的 趋势． 式不同时, 往往还需要分别 加以讨论. 是当 x 在该点两侧趋近于 时, 函数有一个确定的变化 当函数在两侧的表达 例如函数 该函数在点 两侧的变化趋势是不同的: 左侧趋近于0时, ； 时, ． 当 x 在0的 而当 x 在0的右侧趋近于0 这就是左右极限的雏形. 定义 设函数 在 的某个左(右)邻域内有定义, 正数 ，只要 x 满足 如果存在常数 A，使得对于任意给定的正数? ，总存在 对应的函数值 总能满足 那么常数 A 就称作函数 在 处的左(右)极限. 容易证明 定理 极限 存在的充分必要条件是 在点 处的左右极限存在并且相等. 左极限记为 或 ， 右极限记为 或 ． 例6 符号函数 则 所以