第四章,第一节可测函数的定义及其简单性质.pptVIP

Th5 可测函数与简单函数之间的关系 若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere） 设Л是一个与集合E的点有关的命题，如果存在E 的子集M，满足mM=0，使得Л在E\M上恒成立，也就 是说E\E[Л成立]是零测度集，则我们称Л在E上几乎处 处成立，或说Лa.e.于E。 * * 注：一个函数在其定义域的每一个孤立点都是连续的。 * * E[fg] 关于cf(x),当c=0时，显然可测。 非负函数f(x),g(x)是摸个是函数的正部和负部的充要条件是E[f0] ∩E[g0]=Φ 第一节 可测函数及其性质 第四章 可测函数 新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)? 1可测函数定义 例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 Th1.可测函数的等价描述 证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及 ⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测 对前面等式的说明 ( [ a-1/n a ( [ a a+1/n 推论 设f(x)在E上可测，则E[f=a]总可测，不论a是有限实数或±∞. 证明： E[f=a]=E[f≥a]-E[fa] （2）连续函数 对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数， ( ) ( ) ( ) f(x) 在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续) 设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 处连续 注：一个函数在其定义域的每一个孤立点都是连续的。 Th2 可测集E上的连续函数定为可测函数 证明：任取x∈E[fa], 则f(x)a,由连续性假设知， 则G为开集，当然为可测集， Th3 （1）设f(x)是可测集E上的可测函数，而E1为E上的可测子集，则f(x)看作是定义在E1上的函数时，它是E1上的可测函数。 （2）设f(x) 定义在有限个可测集Ei(i=1,2, …,s)的并集上，且f(x)在每个Ei上都可测，则f(x) 在E上也可测。 证明： E1[fa]=E1∩E[fa] (3)简单函数是可测函数 可测函数 注：Dirichlet函数是简单函数 任何简单函数都是可测函数。 0 1 若 ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数； ⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 a I a x1 x2 由f单调增知下面的集合为可测集 证明：不妨设f单调增，对任意a∈R 2.可测函数的四则运算 引理 设f(x),g(x)是E上的可测函数，则E[fg]和 E[f≥g]都是可测函数。 证明：对任意的x0∈E[fg], x0∈E[fr] ∩E[gr] 存在有理数r， 使f(x0)rg(x0). 所以： Th4 若f(x),g(x)是E上的可测函数,则下列函数（假 定他们在E上有定义）皆在E上可测：f(x)+g(x) , ∣f(x) ∣，1/f(x) , f(x)g(x) a-g(x) r f(x) 关于cf(x),当c=0时，显然可测， (1) E[f+ga]=E[f-g+a] 现在对一般情形讨论： ⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。 推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。 若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。 对上式的说明： 下确界： ( [ a-1/n a 例1 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集. 证明：发散点全体为 收敛点全体为 再 函数的正部与负部 则f+(x),f-(x)是定义在E上的非负函数，分别成为 f(x)的正部和负部 非负函数f(x),g(x)是某个实函数的正部和负部的充要条件 是E[f0] ∩E[g0]=Φ * * 注：一个函数在其定义域的每一个孤立点都是连续的。 * * E[fg] 关于cf(x),当c=0时，显然可测。 非负函数f(x),g(x)是摸个是函数的正部和负部的充要条件是