第十五章拉格朗日方程.pptVIP

第十四章 拉格朗日方程 * * 第一节 动力性普遍方程 第二节 拉格朗日方程 本章重点： 动力学普遍方程的应用。 拉格朗日函数的计算。 拉格朗日方程的应用。 达朗伯原理+虚位移原理=动力学普遍方程 第一节 动力学普遍方程 一运动着的质点系，其中第i个质点的加速度为ai，质量为mi， 根据达朗伯原理，在每一瞬时作用在该质点上的主动力Fi，约束 力FNi以及惯性力FIi= -mai组成平衡力系，即 Fi + FNi+ (－m ai) = 0 (i=1，2，…，n) 应用虚位移原理，给质点系任一组虚位移dri (i=1，2，…，n) 假定质点系所受的约束是理想约束，动力学普遍方程 为： 例14-1 调速器以匀角速度w绕铅垂轴转动。刚性系数为k 簧无伸缩。上臂的悬挂轴与转动轴相距为e。已知飞球 的弹簧被固定在调速器上臂的A，B两点，当θ=0时弹 C，D质量均为m1,套筒质量为m2，各臂长均为l，其自重不计。 试求角速度w与张角θ之间的关系。 解： 取系统为研究对象。 由动力学普遍方程式得 系统的自由度为1，取 为广义坐标 E E 求得 E 将各变分代入动力学普遍方程 弹性力 例14-2 两个半径均为r的均质圆轮，中心用连杆相连， 为m1，对轮心的转动惯量皆为J，连杆质量为m2，求连杆运动的 在倾角为θ的斜面上作纯滚动，如图所示。设轮子质量皆 加速度。 解 取刚体系统为研究对象， ； ， 系统自由度为1 ，沿斜面取广义坐标，给ds 注意到 ，所以上式可写成 解得 s 由动力学普遍方程式得 ae ar 例14-3 三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面运动， A和B的质量 解: 取系统为研究对象。 各为mA与mB，斜面的角度为f，摩擦略去不计。试求三棱 柱B的加速度。 分析运动，加惯性力 系统自由度为2 ，取广义坐标x、s， x s 令 再令 由动力学普遍方程式得 由动力学普遍方程式得 解得 第二节 拉格朗日方程 动力学普遍方程 代入动力学普遍方程式得 交换上式的求和顺序， 广义主动力 广义惯性力 将广义惯性力转化为用动能表示 由虚位移的独立性，可得 拉格朗日方程，一组广义坐标形式的质点系运动微分方程， 简称拉氏方程。 对于保守系统 拉氏方程可改写为 将动能Ek与势能Ep之差用拉格朗日函数L表示，即令 因势能只是广义坐标的函数，不含广义速度，即 拉氏方程可表为 质点系所受的力是有势力时的拉格朗日方程： 解题步骤： 1.判别系统的自由度，选取广义坐标。 2.将动能表为广义速度、广义坐标的函数。 3.对于保守系统，将势能表为广义坐标的函数，计算 拉格朗日函数L 。 对于一般系统，计算广义力。 4.求导数。计算 ， ， ， ， 5.建立拉格朗日方程 O M A r R 为m2，半径为r的均质小齿轮，小齿轮沿半为R的固定大齿轮纯 例14-4 在水平面内运动的行星齿轮机构如图所示。均质 系杆OA的质量为m1，它可绕端点O转动，另一端装有质量 滚动。当系杆受力偶M的作用时，求系杆的角加速度。 解: 机构具有一个自由度，选系杆的转角 为广义坐标。 O M A r R 系统的动能 广义力 O M A r R 代入拉氏方程 解得： 统的运动微分方程。 例14-5 椭圆摆由物块和摆锤用直杆铰连而成，物块可沿 光滑水平面滑动，摆杆可在铅直面内摆动。设物块和摆锤 的质量分别为m1，m2；摆杆长为l，质量不计。试建立系 解 ： 系统具有两个自由度，以x和f为广义坐标， O x y f A B 系统的动能 O x y f A B 以A块质心所在水平面为势能零位置，系统的势能为 拉格朗日函数