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費馬最後定理 勾股定理及勾股數組 勾股定理　在 ?ABC 中，若 ?C 為直角，則 a2 + b2 = c2。 留意：32 + 42 = 52; 52 + 122 = 132; 82 + 152 = 172; 72 + 242 = 252; ……等等 即 (3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13)…等等為方程x 2 + y 2 = z 2 的正整數解。 我們稱以上的整數解為「勾股數組」。 勾股數組的通解 費馬的「解答」 將一個立方數分成兩個立方數，一個四次冪分成兩個四次冪，或者一般地將一個高於二次冪的數分成兩個相同次冪，這是不可能的。我對這個命題有一個美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。 但，費馬從未向其他人提及這個「美妙證明」，亦沒有任何紀錄提及這件事！ 到底費馬的說法是否正確呢？ n = 4 的證明 費馬在給朋友的信中，曾經提及他已證明了 n = 4 的情況。但沒有寫出詳細的證明步驟。 1674 年，貝西在的少量提示下，給出這個情形的證明。 證明步驟主要使用了他發明的「無窮遞降法」。 費馬的證明 再進一步 瑞士人。18世紀最優秀的數學家。 世上最多產的數學家。 13歲入大學，17歲取得碩士學位，30歲右眼失明，60歲完全失明。 1770年提出 n = 3 的證明。 但歐拉在他的證明中犯錯，故此並未能成功地解決 n = 3 的情況！ n = 5 的證明 勒讓德 Legendre (1752 - 1833) n = 7 的證明 拉梅 Gabriel Lamé (1795 - 1870) 理想數的誕生 庫麥爾 Ernst Edward Kummer (1810 - 1893) 懸紅十萬馬克 無數英雄盡折腰 1941年，雷麥證明當 n 253747887 時 ，「費馬最後定理」第 I 情況成立。 1977 年，瓦格斯塔夫證明當 n 125000 時，「費馬最後定理」成立。 1983 年，德國數學家伐爾廷斯證明了「莫德爾猜想」，從而推出方程 x n + y n = z n 最多祇有有限多個整數解。 1988 年，日本數學家宮岡洋一宣布以微分幾何的角度，證明了「費馬最後定理」！ 不過，該證明後來被發現有重大而無法補救的缺陷，證明不成立！ 谷山—志村猜想 谷山—志村猜想 之後，就開始了二人對「模形式」的研究。 1955 年，谷山開始提出他的驚人猜想。 1958 年，谷山突然自殺身亡。 其後，志村繼續谷山的研究，並提出以下的猜想： 谷山—志村猜想每一條橢圓曲線，都可以對應一個模形式。 對「谷山志村猜想」的評價 起初，大多數的數學家都不相信「谷山志村猜想」。 60 年代後期，眾多數學家反覆地檢驗該猜想，既未能證實，亦未能否定它。 到了 70 年代，相信「谷山志村猜想」的人越來越多，甚至以假定「谷山志村猜想」成立的前提下進行論證。 弗賴曲線（? 猜想） 1984 年秋，德國數學家弗賴（Gerhand Frey），在一次數學會議上，提出以下的觀點： 再換句話說，如果「谷山志村猜想」正確，那麼「費馬最後定理」就必定成立！ 懷爾斯 Andrew Wiles 英國人，出生於 1953 年。 秘密計算 1986 年，當里貝特證得「? 猜想」後，懷爾斯就決心要證明「谷山志村猜想」。 劍橋演講 1993 年 6 月 23 日，在劍橋大學的牛頓研究所，懷爾斯以「模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示論」為題，發表了他對「谷山志村猜想」（即「費馬最後定理」）的證明。 噩夢開始！ 演講會過後，懷爾斯將長達二百多頁的證明送給數論專家審閱。 起初，祇發現稿件中的有些微的打印錯誤。 但，同年 9 月，證明被發現出現了問題，並未能對所有情況生效！ 懷爾斯以為此問題很快便可以修正過來，但結果都失敗！ 懷爾斯已失敗的傳聞，不脛而走。 再次閉關 1994 年 1 月，懷爾斯重新研究他的證明。但，到了同年 9 月，依然沒有任何進展。 最後勝利 最後勝利 1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜誌《數學年鑑》中發表。 1995 年 5 月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜誌《數學年鑑》中發表。 1997 年 6 月 27 日，懷爾斯獲得價值五萬美元的「沃爾夫斯凱爾獎金」。 注意：x 為奇數，x2 必定為 4n + 1 的形式。 又假如 b 為奇數，a為偶數，則 4n + 1 = x2 = a2 - b2 = 4m - 1，矛盾！ 有說 n = 4 的證明是由歐拉做出來的。 留意勒讓德當時已 71 歲。而狄利克雷在 1828 年，祇有 23 歲！ 由於 14 不是質數，它由 2 和 7 所合成，所以狄利克雷所獲得的，是一個較弱的結果。 為何沃爾夫斯凱爾會訂下如此遺囑，傳聞原因有二： 1. 他曾為一個女人而打算自殺，但在打算自殺的晚上，他掛著閱讀和驗證庫麥爾計算上的錯算，