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用向量來看平面族定理 ◎蘇俊鴻／北一女中 y + 2z = 0 ，故取z = 0,y = 0, x = 2 ，∴P (2 , 0 , 0) ， 前言 所求平面包含直線L 與點Q (2 , – 1 , – 1) ，因此 在空間中的平面與直線的章節中，我們經常 法向量v PQ = (1 , – 2 , 1) (0 , 1 , 1) = (– 3 , – 1 , 1), 使用「平面族定理」來解題，這個定理在現行課 取 n = (3 , 1 , – 1) 所求平面方程式為3x + y – z – 6 程大綱的安排上並未納入。因此，許多人對它只 = 0. 是知其然，而不知其所以然。事實上，透過向量 此法計算過程較為繁複，因此老師們多半會 觀點的切入，可以為我們提供理解的途徑。本文 再介紹另一種作法： 的目的，就是由此出發，想把它說個清楚。最 後，也提供一些可用「平面族定理」處理的例 透過「平面族定理」，將過已知兩平面交線的 子。 任一平面，表示成這兩個平面的線性組合，再 進行處理。 「平面族定理」的由來 設所求的平面為 2x + y – 4 + k y + 2z = 0, ∵過點(2 , – 1 , – 1) 在空間中的平面與直線的章節裡，常會遇到 1 ∴代入上式，得k = – . 3 這樣的問題： 所求平面方程式為 求過二平面2x + y – 4 = 0 與y + 2z = 0 的交線， 1 且過點Q 2 , – 1 , – 1 的平面方程式。 2x + y – 4 + – 3 y + 2z = 0, 如何解決這類問題呢？基本上有二種處理方式： 即 3x + y – z – 6 = 0. 先找到兩個平面交線的方向向量及交線上的一 點坐標，就回歸到「求包含已知一線及線外一 這個方法雖然快速，卻有著許多環節必須詳 點的平面方程式」的問題類型。 加說明，像是 解法如下： 什麼是平面族？ 為什麼過已知兩平面交線的任何平面，一定可以 ∵兩平面交線L 的方向向量v 同時垂直兩平面的 法向量，故v // (2 , 1 , 0) (0 , 1 , 2) = (2 , – 4 , 2) 表示成這兩個平面的線性組合呢？ 這些問題都需要解釋清楚，第一個問題只是 = 2(1 , – 2 , 1) ，可取v = (1 , – 2 , 1) ，接著在交線 定義的問題，倒是