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数学历史的启示 龚 昇 一、百年前的讲演 一个世纪前，德国数学家希尔伯特（1862—1943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《 数学问题》的著名讲演。这是载入数学史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语中，对数 学的意义、源泉、发展过程及研究方法等发表了许多精辟的见解。而整个讲演的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。100年来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。100年过去了，这些问题近一半已经解决或基本解决，还有些问题虽取得了重大进展，但尚未最后解决，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等。 100年过去了，现在回过头来看，对希尔伯特提出的23个问题，有不少评论。很多人认为，这些问题对推动20世纪数学的发展起了很大的作用，当然也有评论曾指出其不足之处，例如，这23个问题中未能包括拓朴学、微分几何等在20世纪成为前沿学科领域中的数学问题 ，除数学物理外很少涉及应用数学，等等，当然更不会想到20世纪电脑的大发展及其对数学的重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。 希尔伯特是19世纪和20世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一，另两位是庞加莱（1854—1912）及克莱因（1849—1925）。他们的数学思想及对数学的贡献，既反射出19 世纪数学的光辉，也照耀着20世纪数学前进的道路。 希尔伯特是在上一次世纪交替之际作讲演的，现在又一个新的世纪开始了，再来看看他的讲演，其中一些话仍然适用，例如在讲演一开始，他说：“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？”他还说：“历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。” 20世纪无疑是一个数学的伟大时代，21世纪的数学将会更加辉煌。“每个时代都有它自己的问题”，20世纪来临时，希尔伯特提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题对20 世纪数学的发展起了很大的推动作用，但20世纪数学的成就却远远超出他所提出的问题。 那么21世纪的问题又是什么呢？希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出这些问题时，才38岁，但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。大家知道，2002年国际数学家大会将在中国北京召开，这是国际数学家大会第一次在发展中国家召开，那么在这新旧世纪交替之际，会不会有像希尔伯特这样具有崇高威望的人在会上提出他认为的21世纪的数学问题或是以其他的形式展望21世纪的数学？这些年来，已有不少数学家提出自己认为的21世纪的数学问题，但往往是“仁者见仁，智者见智”。 二、百年前讲演的启示 对希尔伯特的23个问题，不在这里介绍了，因为它超越了中学数学的范围。但百年前，希尔伯特演讲中对数学的一些见解却是非常深刻的，百年过去了，重读他的演讲，依然得到很多启示。在这里我只想讲一讲对他演讲中一段话的粗浅认识。 从17世纪60年代微积分发明以来，数学得到了极大的发展，分支也愈来愈多。开始时一些大数学家对各个分支都懂，并且做出了很大的贡献。但后来数学的分支愈分愈细，全面懂得各个分支的数学家愈来愈少，到19世纪末，希尔伯特作讲演时，已经是这种情况。于是在讲演中，他说了这样一段话：“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗？为了回答这个问题，我想指出：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进的道路。”100年过去了，数学发展得更为广阔与深入，分支愈来愈多，现在数学已有60个二级学科、400多个三级学科，所以希尔伯特的这段话现在显得更为重要。不仅如此，希尔伯特的这段话实际上 讲的是数学发展的历史过程，十分深刻地揭示了数学发展是一个新陈代谢、吐故纳新的过程 ，是一些新的有力的工具和更简单的方法的发现，与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程 ，是“高级”的数学替代“低级”的数学的过程，而“数学科学发展的这种特点是根深蒂固 的”。事实上，在数学的历史中，一些新的有力的工具、更简单的方法的发现，往往标志着一个或多个数学分支的产生，标志着一些老的分支的衰落甚至结束。 回顾一