実数の連続性と関数の表示について虚数i無理数-静岡大学理学部.pdfVIP

- 1 - 実数の連続性と関数の表示について オープンキャンパス2004の数学講演 2004.7.24. 静岡大学 理学部 数学科 奥村 善英 ０．方針 今回の講演では， １． 「実数全体を直線上にすきまなく並べることが出来る」と述べている実数の 連続性に関する話題， ２． 写像と関数とは？ ３． 関数の表示，グラフ化に関する話題， について，話していこう． １．実数の連続性について 実数を直線上の点として表そう．このとき，実数全体を直線上にすきまなく並べる ことが出来るだろうか？ 実数とは，有理数と無理数の集合であった． 複素数 虚数i 実数 有理数 無理数 図 １．１ まず，「有理数全体を直線上にすきまなく並べることが出来るか？」について，考え ていこう． 奥村善英 2004.7.24.数学講演アブストラクト「実数の連続性と関数の表示について」 - 2 - 1.1. 直線上の有理数の分布 有理数とは， （整数A）÷（整数B） （ただし，Bは0でない） の形にかける数のことであった．有理数はrational numberの訳で，「比（ratio）を持つ 数」が本来の意味である． 直線上の有理数の分布を考えよう． 分母1の分数（整数のこと）は，1の間隔で直線上に並ぶ． -2 -1 0 １ ２ 図 １．２ 分母が２の分数は，1/2の間隔で直線上に並ぶ． -3/2 -1 -1/20 1/2 1 3/2 図 １．３ これから，１，２，３，???を分母に持つ分数は，直線上に1，1/2，1/3，???というよう な狭い間隔で並んで行くことになる． よって，「直線上でどのように狭い区間を取っても，その中に有理数がある」ことが 分かる． 図 １．４ ゆえに，有理数全体は直線上に密集して並ぶ． 奥村善英 2004.7.24.数学講演アブストラクト「実数の連続性と関数の表示について」 - 3 - 1.2. 直線上の無理数の分布 無理数とは， （整数A）÷（整数B） （ただし，Bは0でない） の形にかけない数のことであった． 分数の計算から， 有理数＝整数，有限小数，または， 循環しながら無限に続く小数 が成り立つ．これから， 無理数＝循環せず無限に続く小数． 実数 有理数 循環する 整数 無限小数 無理数 ＝ 0,-1,-2，-3,??? 循環しない 自然数 無限小数 有限小数 図 １．５ まず，「 2 ＋（有理数）は（無理数）となる」ことに注目しよう． ∵ これは，「2 ＋（有理数Ａ）＝（有理数Ｂ）」と仮定すると，2 ＝Ｂ－Ａと右辺 は有理数になり，矛盾することから分かる．□ 奥村善英 2004.7.24.数学講演アブストラクト「実数の連続性と関数の表示について」 - 4 - 2 ＋（有理数Ａ）は，「直線上では（有理数Ａ）を2 だけ右に移動させた数」とな る．よって，2 ＋（有理数）の形の無理数全体も，有理数全体と同じように直線上に 密集して並んでいる．これから，無理数全体も直線上に密集して並ぶ． このような有理数と無理数の直線上の分布から，次の2つが分かった： ? 有理数全体は直線上に密集している．しかし，有理数全体だけでは，直線 上にすきまなく並べることが出来ない． ? 無理数全体も直線上に密集している．しかし，無理数全体だけでは，直線上 にすきまなく並べることが出来ない． 1.3. 実数の連続性 では，「実数全体を直線上にすきまなく並べることが出来る」だろうか？ 出来ることは当然と思われていた．１９世紀後半になって，問題として意識された． 別の表現に言い換えて，「出来る」ことが証明された．この性質は，実数の連続性と 呼ばれている． 実数の連続性から，実数全体は直線と同じものと考えて（同一視して）よい．これか ら，「実数全体を数直線で表そう」などと，言われるのである． 1.4. 実数の連続性の別表現 実数の連続性を特徴付けるために，連続性の別表現が，いろいろ考えられた．代 表的な４つの別表現を，大学で習うことでしょう．ここでは，１つだけあげよう． 実数の連続性は， 次を満たす数列｛ ｝は，いつでも実数に収束する： An ≦ ≦ ≦???≦（ある実数M）． A1 A2 A3 に，言い換えることができる． A1 A2 A3 ある実数M 図 １．６ 奥村善英 2004.7.24.数学講演アブストラクト「実数の連続性と関数の表示について」 - 5 - このとき，明らかに An ≦（数列の収束値）≦M となっている． 1.5. 循環小数0.999???＝１について． ことを示そう. 実数の連続性から，0.999???は実数になり，さらに，１に等しい ∵ n ＝0.99???9 （９が