4.4控制系统的根轨迹法分析.pptVIP

三、 开环零点对系统根轨迹的影响 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能，下面以三阶系统为例来说明。 设系统的开环传递函数为 如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为 下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹。 2. ，设 ，相应的根轨迹如图c）所示 1. ，设 ，则相应系统的根轨迹如图b 所示。由于增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。 从根轨迹形状变化看，系统性能的改善不显著，当系统增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环放大系数和临界频率都有所提高。 从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指标也比较满意。 可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引入比例微分调节，即属于此种情况。 四、开环极点对系统根轨迹的影响 设系统的开环传递函数 其对应的系统根轨迹如图 a）所示。 若系统增加开环极点，开环传递函数变为 其相应的根轨迹如图 b）所示。 小 结 根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零.极点在s平面上的分布，按照表所列出的规则，就能方便的画出根轨迹的大致形状。 根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出 系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。 * §4-4 控制系统的根轨迹法分析 一、控制系统的稳定性分析 稳定的系统，其闭环特征根必须全部位于s平面左半侧，而且在s平面左半侧距虚轴距离越远，其相对稳定性越好。 根轨迹正好直观地反映了系统闭环特征根在s平面上随参数变化的情况，因此，由根轨迹很容易了解参数变化对系统稳定性的影响，确定使系统稳定的参数变化范围。 例:设某负反馈系统的开环传递函数为 试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定的K*取值范围。 解：利用根轨迹的绘制法则 过程从略 可绘出K*从0变化到∞ 时系统的根轨迹如图所示。 由图可见，当0＜K*＜14及64＜K*＜195时，闭环系统是稳定的，而当14≤K*≤64及K*≥195时，系统是不稳定的。 把参数在一定范围内取值才能稳定的系统叫条件稳定系统。如前面所举的例子中的系统就是条件稳定系统。对于条件稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。 条件稳定系统的工作性能不十分可靠，实际工作中，应尽量通过参数的选择或适当的校正方法消除条件稳定的问题。 二、控制系统的暂态性能分析 利用根轨迹法可清楚地看到开环根轨迹增益或其它开环系统参数改变时，闭环系统极点位置及其暂态性能的变化情况。 例：典型二阶系统开环传函为 当ζ变化时，作出系统的根轨迹如图所示。 闭环系统的极点为 图中阻尼角β与阻尼比ζ的关系为 根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式 可得到系统工作在该点的暂态性能。反过来，我们也可以根据系统暂态指标的要求，确定系统特征根的位置。 方法： （1）根据超调量的要求先求出阻尼角β，再从原点以阻尼角β引二条射线。 （2）根据调节时间的要求，计算出σ＝ζωn 在s平面上画出s＝－σ的直线。由此确定满足系统暂态性能指标的区域。 若在该区域内没有合适的根轨迹，则应在系统中加入极点、零点合适的校正装置以改变根轨迹的形状，使根轨迹进入该区域。然后确定满足要求的闭环极点位置及相应的开环系统参数值。 例：单位反馈控制系统的开环传递函数为 若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量σ%≤18%，试确定系统的开环增益。 解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ，B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为 由根轨迹方程的幅值条件，可求得相应于 A，B 点的 K*值为 再计算出系统的开环增益为 根据闭环极点之和等于常数的性质，可求得系统另一闭环实极点为 它将不会使系统超调量增大，故取K ＝1.85可满足要求。 此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数极点和一个实数极点，并且共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭复数主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二