棣美弗定理與euler公式-中研院數學研究所.pdfVIP

棣美弗定理與 Euler 公式 林琦焜 『The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.』 — J. Hadamard 1865?1963 — 數學裡有許多迷人的公式能夠知道它的來源, 瞭解其內涵並有深刻的体會, 雖然花點時間 但絕對是值得的。 引用高斯 Karl Friedrich Gauss, 1777-1855 的商標, 即一幅畫其中有一 棵樹, 上面只結了七個果實, 下面寫著 “ 雖少卻熟透”, 所謂 “抓一小把而心安理得 , 遠勝過雙 手滿捧卻勞碌捕風”。 在三角函數與複數理論中最重要的公式, 我個人認為是 Euler 公式 eiθ cos θ + i sin θ 這是 Euler 在 1748 年所發表。 若 θ π 就是 eπi + 1 0 Euler 1707-1783 非常喜愛這個公式, 並宣稱這是最美麗的數學公式, 他熱愛到將這公式刻 在皇家科學院的大門上。 這式子有 1, 0 分別是乘法, 加法這兩個基本運算系統的單位元素, 整 個數字系統最根本的概念, 還有三個運算方法 — 加、 乘與次方。 另外還有兩個特別的數: 指數 e 與圓周率 π , 再加上 i 這個虛數單位 i 顧名思意是取虛數 imaginary number 的第一個字 母, 這是 Euler 第一個提議, 但卻是高斯使得代表 √?1 的符號 i 廣被使用, 他將 a + ib 命名 為複數 complex number 而稱 √a2 + b2 為範數 norm 。 i 的幾何意義是旋轉, 將 x 軸 轉換到 y 軸。 關於這個事實人們有這麼一段笑話: 『 You have reached an imaginary number. If you reguire a real number, please rotate your telephone by 900 and try again. 』 您撥 的是虛號 虛數 , 如果您要撥實號 實數 請將您的電話旋轉 90 度後再重撥。 3 4 數學傳播 27 卷 4 期 民 92 年 12 月 歷史上第一個給出複數之幾何表示的學者是挪威數學家 Casper Wessel 1745-1818 之 後 Jean Robert Argand 1768-1822 , J. Warnen 和高斯 Gauss 等人也相繼獨立發表了 複數的幾何表示。 其中以高斯的工作對於後代的數學產生普遍的影響。 實際上 Euler 並不是憑 空想像推導出 Euler 公式, 在他之前法國數學家棣美弗 de Moivre, 1667-1754 就在 1722 年提出著名的棣美弗定理 1.1 , 由棣美弗定理加上極限的概念可推導出 Euler 公式。 除此之 外, 棣美弗也是機率論的創始者之一, 今天我們所說的常態分配 normal distribution 或高 斯分配事實上是棣美弗先發現的, 關於其生平讀者可參閱 「毛起來說三角」 [4] 一書。 1. 棣美弗定理 從歷史的發展而言, Euler 公式與棣美弗定理 cosn? + i sin n? cos ? + i sin ? n 1.1 有直接密切的關係, 令 ? θ 則 n cos θ + i sin θ cos θ + i sin θ n 1.2 n n 這等式對所有的正整數 n 都成立, 所以可以考慮 n → ∞ 的情形, 由三角函數之性質 θ θ θ θ cos ≈ 1, sin ≈ , n ? 1, ≈ 0 n n n n 可以合理地猜測 cos θ + i sin θ lim cos θ + i sin θ n lim 1 + iθ n eiθ 1.3 n→∞ n n n→∞ n 這就是 Euler 公式! 在這裡我們已悄悄地承認極限 limn→∞ 1 + x n ex 對於複數 x 也成 n 立。 2 2 我們從三角公式 cos x + sin x 1 畢氏定理 開始, 因式分解可得 2 2 1 cos x + sin x cos x + i sin x cos x ? i sin x 令右式的兩個函數分別是 f x cos x + i sin x, g x cos x ? i sin x 1.4 f , g 之關係為 f x g x 1, g x