第四讲第三章点、直线和平面的投影（三）.docVIP

第四讲 第三章 点、直线和平面的投影（三） 本讲的学习目标：掌握用平面图形表示的各种位置平面的投影特性。学习重点：平面内点和直线的投影特性及在平面内定点和直线的作图方法，求平面内水平线和平面内正平线的方法，利用积聚性求直线与平面的交点和直线与平面的交线。 3.3 平面的投影 3.3.1 平面的表示方法 平面是广阔无边的，它在空间的位置可用下列的几何元素来确定和表示。 （1）不在同一条直线上的三个点，例如图3-30 a 的点A、B、C。 （2）一直线和线外一点，例如图3-30 b 的点A和直线BC。 （3）两相交直线，例如图3-30 c 的直线AB和AC。 （4）两平行直线，例如图3-30 d 的直线AB和CD。 （5）平面图形，例如图3-30 e 的△ABC。 图3-30 用几何元素表示平面 图3-30是这些几何要素的两面投影，即画法几何中表示平面的五种方法。这五种方法是可以互相转换的，例如连接图3-30（a）中的A、B两点，即得图3-30（b）；过图3-30（b）中的点C作一直线平行于AB，即得图3-30（c）；······这样转换的结果，几何元素虽然在形式上有所变化，但依然表示着原来一组几何元素所确定的平面。本书多用平面形（如三角形、长方形、梯形等）来表示平面。 3.3.2 各种位置平面的投影特性 平面通常是由点、线或线、线所围成。因此，求作平面的投影，实质上也是求作点和线的投影。 如图3-31，空间一平面△ABC，若将其三个顶点A、B、C的投影作出，再将各同面投影连接起来，即为三角形ABC平面的投影。 图3-31 平面的投影 根据平面与投影面的相对位置平面可分为：投影面平行面、投影面垂直面、一般位置平面三种情况。前两种为特殊位置平面。 3.3.2.1 投影面平行面 1. 定义 ：平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投影面的平面。 2. 分类及投影图 ： 投影面平行面可分为：正平面、水平面、侧平面。这三种平行面的投影图如表3-3所示。 投 影 面 平 行 面 表3-3 名称 水平面（∥H） 正平面（∥V） 侧平面（∥W） 立 体 图 投 影 图 下面以表3-3中水平面为例，进一步说明其投影特性。 由于水平面平行于H面，必然垂直于V面和W面，所以水平面的V、W面投影积聚为一直线，且平行于相应的投影轴。这是识别水平面的投影特征。水平面的H面投影反映平面的实形。 正平面和侧平面有类似的投影特性。投影面平行面的投影特性为： 3. 投影特性 ： （1）平面在它平行的投影面上的投影反映实形； （2）平面的其它两个投影积聚成线段，并且分别平行于相应的投影轴。 4. 平行面空间位置的判别： 一框两直线，定是平行面；框在哪个面，平行哪个面。 3. 投影特性： （1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，并且该投影与投影轴 的夹角等于该平面与相应投影面的倾角； （2）平面的其它两个投影不是实形，但有相仿性。 4. 垂直面空间位置的判别： 两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直哪个面。 3.3.2.3 一般位置平面 1. 定义：与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置面。 2. 投影图 ： 一般位置面的三个投影都呈倾斜位置，如图3-32所示。 图3-32 一般位置平面的投影 因为一般位置平面与三个投影面都倾斜，所以平面图形的三个投影均不反映实形，也无积聚性，但具有原图形的相仿性。在图3-31（b）中，三面投影Δa′b′c′、Δabc、Δa″b″c″均比原几何图形ΔABC小。 3. 投影特性： 平面的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，而是原平面图形的类似形。 4. 一般位置线的判别 ： 三个投影三个框，定是一般位置面。 3.3.3 平面上的点和直线 3.3.3.1平面上的点 3.3.3.2平面上的直线 一直线若通过平面内的两点，则此直线必位于该平面上，由此可知，平面上直线的投影，必定是过平面上两已知点的同面投影的连线。 若点在直线上，直线在平面上，则点必定在平面上。 在平面上取点，首先要在平面上取线。而在平面上取线，又离不开在平面上取点。 【例3-14】 已知ΔABC平面上点M的正面投影m′，求它的水平投影图m（图3-33（a））。 分析：点M在ΔABC平面上，必然经过平面上一直线；m′和m应分别位于该直线的同名投影上。因此，要补全点M的投影，需先在ΔABC内作出过点M的辅助线。 作图方法一： （a）已知条件 （b）在正面投影上过a′和 （c）自m′向下引OX轴的m′作辅助线a′m′，并延长 垂线，与ad相交于m， 与b′c′相交于d′；自d′向下 m即为所求。 引OX轴的垂线，与bc相 交于d，连ad； 图3-33 补出平面上点M的水平投影作图方法一