双曲抛物面.ppt

§4.7二次曲面的直纹性 一 定义：由一族直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的直母线。 也表示直线。显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。 （4），（5），（6）合起来组成的一族直线叫做u族直线。 同理，由 推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点。 三 双曲抛物面的直纹性： 推论 对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点。 根据第三章第八节例3知道这两条直线一定是共面的，所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面。 定理2：单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面。 * 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 x z y 0 截痕法 双曲抛物面（马鞍面） 截痕法 . x z y 0 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 双曲抛物面（马鞍面） 截痕法 . x z y 0 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 双曲抛物面（马鞍面） （ 与 同号） 双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论： 设 图形如下： x y z o 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 作图一 x 0 z y 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . x 0 z y 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 17. 作图练习一 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 17. 作图练习一 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 17. 作图练习一 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 17. 作图练习一 4 2 . x 0 z y 6 6 6 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 17. 作图练习一 a a x z y 0 18. 作图练习二 z = 0 y = 0 x = 0 a a x z y 0 . 18. 作图练习二 a a x z y 0 学画草图 . a 18. 作图练习二 1 –1 1 y x 0 19. 作图练习三 z 0 x z y a a a 20. 作图练习四 0 x z y a a a . 20. 作图练习四 0 x z y a a a . 20. 作图练习四 z=0 x=0 y=0 a a a . 0 x z y 问题： 这是个怎样的立体？ 这是个七面体 20. 作图练习四 注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。 二 单叶双曲面的直纹性: 容易知道，u族直线中的任何一条直线上的点都在曲面（1）上。 与单叶双曲面的情形完全类似，可以证明：直线族： 四 单叶双曲面、双曲抛物面的直母线性质： 定理1：单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。 证：（只证定理前面部分，后面部分留给读者） * * * 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。 再问： ‘那些部分不属于所围区域，应删去？’（删三个角） 那些部分开放，需用坐标面贴补？ （出现三个贴补面）。 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。 再问： ‘那些部分不属于所围区域，应删去？’（删三个角） 那些部分开放，需用坐标面贴补？ （出现三个贴补面）。 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。 再问： ‘那些部分不属于所围区域，应删去？’（删三个角） 那些部分开放，需用坐标面贴补？ （出现三个贴补面）。 本题作为画立体图的练