倒格子。.ppt

§2-2 倒格子和布里渊区 为了以后计算上的方便，我们引入一个新的概念:倒格子。 引入设想：如果晶格的基矢未知，只有一些周期性分布的点，这些点与晶格中的每族晶面对应，通过对应关系求出未知晶格的基矢，那么这些点组成的格子就是倒格子。 倒格子并非物理上的格子，只是一种数学处理方法，它在分析与晶体周期性有关的各种问题中起着重要作用。 第二章 一、倒格子的定义 假设晶格的原胞基为 、 、 ，原胞体积为 ，建立一个实的空间，其基矢为 由这组基矢构成的格子称为对应于以 、 、 为基矢的正格子的倒易格子(简称倒格子） 、 、 称为倒格子基矢。 第二章 由这组基矢构成的格子称为对应于以 、 、 为基矢的正格子的倒易格子(简称倒格子） 、 、 称为倒格子基矢。 从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间。 倒易空间的格矢量： 倒格矢的量纲：1/长度 第二章 倒易空间的格矢量： 再计算： 第二章 此时可假设一个垂直于平面的单位矢量 例1：简立方格子的倒格子。 例2：二维四方格子，其基矢为： 简立方的基矢： 简立方倒格子的基矢： 1 、正格子基矢和倒格子基矢的关系： =2? (i=j) ai·bj=2??i j =0 (i?j) 二、正、倒格子之间的关系 证明如下： a1·b1=2? a1 ·( a2?a3) / a1 ·( a2?a3) = 2? 因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有： a2·b1=0 a3·b1=0 第二章 ( 为倒格子原胞体积。） 2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3 倍 证明： 利用： 所以： 第二章 晶面族 最靠近原点O的晶面 ABC在基矢a1,a2,a3上的截距: a1/ h1, a2/ h2, a3/ h3 矢量： 同理： 证明： 得证! 第二章 3、倒格矢 是晶面指数为 所对应的晶面族的法线 4、倒格矢 与晶面间距 关系为 因为Kh垂直于ABC面，所以面间距： 第二章 5、正格矢 与倒格矢 的关系 （?为整数） 晶面族（h1h2h3）中离原点距离为?dh的晶面方程： X是晶面上任意点的位矢，对于格点其位移矢为： 第二章 5、正格矢 与倒格矢 的关系 推论： 1、如果有一矢量与正格矢点乘后等于2π的整数 倍，这个矢量一定是倒格矢。 2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲 的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。 第二章 倒格矢的性质： 1） 是密勒指数为 所对应的晶面族的法线。 2） 3） 其中 所以倒格矢 可以代表 晶面。 第二章 定义：任选一倒格点为原点，从原点向它的第一、第二、第三……近邻倒格点画出倒格矢，并作这些倒格矢的中垂面，这些中垂面绕原点所围成的多面体称第一B.Z，其“体积”为倒格子原胞体积 Ω*＝b1·(b2×b3) 三、布里渊区 第二章 说明 并不是原点仅到最近邻的倒格点的倒格矢的中垂面所围成的区域叫第一B.Z; 第一B.Z又可表述为从原点出发，不与任何中垂面相交，所能达到的倒空间区域。第n个B.Z则是从原点出发跨过（n－1）个倒格矢中垂面所达到的区域； 各级B. Z体积相等。 第二章 ?布里渊区界面方程 当 换为倒格矢中垂面上的任意波矢 时，得到布里渊区界面方程 由晶面方程： 在 空间中， 是以倒格矢 为周期的周期函数，仍可将波矢 限制在简约区或第一布里渊区中 由于 为倒格矢，h为整数 有 ，（由于 为任意格矢） 即： 0 第二章 将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系： —— 布里渊区边界面方程 0 第二章 布里渊区的几何作图法： 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一个倒格点为原点； 布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。 由近到远作各倒格矢的垂直平分面； 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 即为简约区或第一布