第五章二维变换和裁剪.ppt

5.2.5 错切变换矩阵 错切变换是将坐标点沿x和y轴发生不等量的变换，得到点的过程。 沿x，y方向的错切变换的坐标表示为： 相应的齐次坐标矩阵表示为： （d）沿+y方向错切 （e）沿-y方向错切 （f）沿+x和+y方向错切 图5-5错切变换 （a）正方形 （b）沿+x方向错切 （c）沿-x方向错切 因此，沿x，y两个方向的二维错切变换矩阵为： 其中c、b为错切参数。 （5-10） 的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着对图形进行错切变换，如图5-5（f）所示。 令b＝0可以得到沿x方向的错切变换，c0是沿x正向的错切变换，c0是沿x负向的错切变换，如图5-5（b）和（c）所示。 令c＝0可以得到沿y方向的错切变换，b0是沿y正向的错切变换，b0是沿y负向的错切变换，如图5-5（d）和（e）所示。 在前面的变换中，子矩阵 上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变换，连接新顶点得到变换后的新直线；多边形的变换可以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的新多边形来实现。曲线的变换可通过变换控制多边形的控制点并重新画线来完成。 符合下面形式的坐标变换称为二维仿射变换（Affine Transformation）。 （5-11） 变换后的坐标x’和y’都是变换前的坐标x和y的线性函数。参数aij是由变换类型确定的常数。 仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有限点的一般特性。平移、比例、旋转、反射和错切五种变换都是二维仿射变换的特例，任何一组二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。因此，平移、比例、旋转、反射的仿射变换保持变换前后两直线间的角度、平行关系和长度之比不改变。 5.3 二维复合变换 5.3.1复合变换原理 5.3.2 相对于任一参考点的二维几何变换 5.3.3 相对于任意方向的二维几何变换 5.3.1复合变换原理 复合变换是指图形做了一次以上的基本几何变换，是基本几何变换的组合形式，复合变换矩阵是基本几何变换矩阵的组合。 其中， 为复合变换矩阵， 为单次基本几何变换矩阵。 值得注意是：进行复合变换时，需要注意矩阵相乘的顺序。由于矩阵乘法不满足交换律，因此通常 。在复 合变换中，矩阵相乘的顺序不可交换。通常先计算出 ，再计算 。 5.3.2 相对于任一参考点的二维几何变换 前面已经定义，二维基本几何变换都是相对于坐标原点进行的平移、比例、旋转、反射和错切五种变换，但在实际应用中常会遇到参考点不在坐标原点的情况。 相对于任一参考点的变换方法为首先将参考点平移到坐标原点，对坐标原点进行二维基本几何变换，然后再将参考点平移回原位置。 P1 P2 P3 Q 图 5-6 示例图 例1 一个由顶点P1（10，10），P2（30，10）和P3（20，25）所定义的三角形，如图5-6所示，相对于点Q（10，25）逆时针旋转30o，求变换后的三角形顶点坐标。 第一步 Q点平移至坐标原点，如图5-7所示。 Q P3 P1 P2 图5-7 平移 变换矩阵为： 。 第二步 三角形相对于坐标原点逆时针旋转30°，如图5-8所示。 P1 P2 P3 Q 图 5-8 旋转 变换矩阵为： 。 P1 P2 P3 Q 第三步 参考点Q平移回原位置，如图5-9所示。 变换矩阵为： 图 5-9 反平移 图形变换后的顶点的规范化齐次坐标矩阵等于变换前的规范化齐次坐标矩阵乘以变换矩阵。 而 所以 这样图形变换后的顶点坐标为P1（17.5，12.01），P2（34.82，22.01）和P3（18.66，30）。 5.3.3 相对于任意方向的二维几何变换 二维基本几何变换是相对于坐标轴进行的平移、比例、旋转、反射和错切五种变换，但在实际应用中常会遇到变换方向不与坐标轴重合的情况。 相对于任意方向的变换方法为首先对任意方向做旋转变换，使变换方向与坐标轴重合，然后对坐标轴进行二维基本几何变换，最后做反向旋转变换，将任意方向还原回原来的位置。 例2 图5-11所示三角形相对于轴线y=kx+b作反射变换，求每一步相应的变换矩阵。 y=kx+b （0，b） 图5-11原始图形 第一步 将点（0，b）平移至坐标原点，如图5-12所示。 图5-12平移 变换矩阵为： 第二步 将轴线y=kx绕坐标原点顺时针旋转β角(β=arctank)，落于x