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第十七章 多元函数微分学 §1 可 微 性 求下列函数的偏导数： 提示：本组习题的求解直接应用一元函数求导法则，必要时可以采用取对数求导法。在对一个变量求导时，需把其余变量视为常量。 解： 2. 设 求 提示：本题有两种解法，一是直接由定义，先计算出 ，再由求导法则求导。二是先由求导法则计算出，再代入。 解一：因为 所以 . 解二：因为 ，所以 。 3. 设 考察函数在原点的偏导数。 提示：直接由定义。 解: 由于 不存在，所以在原点关于的偏导数为0，关于的偏导数不存在. 4. 证明函数在点连续但偏导数不存在. 证: 因为 , 所以函数在点连续.由于当时 的极限不存在,因而 在点关于的偏导数不存在。 同理可证它关于的偏导数也不存在（这里可以利用变量x，y的对称性）。 5. 考察函数在点处的可微性. 提示：由可微的定义知，若函数可微，则偏导数必存在，因此偏导数存在是可微的必要条件，本类讨论可微性的问题应先计算其偏导数是否全存在?若存在，再按可微的定义讨论当时极限是否存在。 解: 有偏导数定义知 . 同理可得。由于 所以,在点处可微。（这里也可以利用极坐标变换处理） 6. 证明函数在点连续且偏导数存在,但在此点不可微。 提示：直接由定义证连续偏导数存在。证其不可微，观察，可考虑选取不同路径趋于原点，而其极限不同。 证: 因为 , 从而 所以 在点连续.有偏导数定义知 同理 .所以, 在点的偏导数存在. 但 . 考察, 由于时,其值为, 当 时, 其值为,所以不存在, 故 在点不可微。 7. 证明函数在点连续且偏导数存在,但偏导数在不连续,而在原点可微. 提示：直接按定义证明。 证: 由于 因此在原点连续。 当 时, 当 时, ; 由于 而 不存在(可考察情况), 因此当时, 的极限不存在,从而在点不连续,同理可证在点不连续。 然而 所以, 在点可微且。 8. 求下列函数在给定点的全微分: (1) 在点,; (2) 在点,. 提示：本类题较为简单，求出偏导数后，检查偏导数是否连续，若连续，则可微，否则应由定义处理。 解: (1) 因 在点连续, 从而在可微。由 得 . 同理由 得 . (2) 因 在点,连续,从而在,处可微且 得 由得. 9. 求下列函数的全微分: (1) (2) . 解: 易见与的偏导数连续,从而可微且 (1) ; (2) . 10. 求曲面 在点处的切平面方程和法线方程. 提示：根据可微的几何意义知：若函数在可微，那么曲面在点存在切平面： 因此本类题的解答应先判断函数的可微性，再求出偏导数，最后写出切平面的方程。 解: 由于在处可微,从而切平面存在。 因为 , 所以切平面方程为 即 . 法线方程为 , 即 . 11. 求曲面在点处的切平面方程和法线方程. 提示：本题可以先将曲面表示成的形式，注意到点的位置，取，再按上题的方法处理，也可以用隐函数求偏导的方法处理，下面给出用隐函数的方法的解答。 解: 把z视为x、y的函数，对两边分别同时对x、y求偏导，可得： ，，从而： , 所以切平面方程为 , 即 法线方程为 , 即 12. 在曲面 上求一点,使这点的切平面平行于平面, 并写出这切平面方程和法线方程. 解: 设所求点为 , 点处切平面法向量为 . 要求切平面与平面 平行,故 从而. 得点为,且点处切平面方程为 即 . 法线方程为 即 . 13. 计算近似值: (1) ; (2) . 提示：若在点附近可微，那么在附近的近似计算公式为： 此结论可推广到多元函数。 解: (1) 设,. 根据 知 (2) 设, 则 分别为 , 因而 . 14. 设圆台上下底的半径分别为, ,高.若 分别增加 , ,,求此圆台体积变化的近似值. 解: 圆台