第五章正交变换和仿射变换习题5.1证明变换的乘法适合结合律，即.docVIP

正交变换和仿射变换 习题5.1 证明变换的乘法适合结合律，即 证明：设，显然都是的变换，对任给，有 因此 从而 求出平面上对直线的反射公式。 解：在直角坐标系中，设点关于直线的对称点是，则的中点在直线上，且与直线垂直，因此有： 得到 即平面上对直线的反射公式： 设平面上直线的方程，求平面对于直线的反射的公式。 解：在直角坐标系中，设点关于直线的对称点是，则的中点在直线上，且与直线垂直，因此有： 解此方程得到平面对于直线的反射的公式： 设是平面上两条平行直线，而分别是平面对于直线的反射，证明是一个平移。 证明：以为轴，建立直角坐标系，设的方程是：，则平面对于直线的反射是面对于直线的反射是设点，计算，的坐标是，的坐标是，于是的公式是，故是以向量的平移。 设是平面的点变换，的公式为 问点分别变成什么点，直线变成什么图形？ 解：将点分别代入的公式中得到。 从变换公式中求出的表达式： 将它代入直线中得到 因此直线变成直线 求平面的点变换 的逆变换。 解：矩阵的逆矩阵是，用左乘点变换的两边得到： 将记号与互换得到逆变换 或将矩阵表示形式写成方程组的形式，解出用表示也可同样得到结论。 在直角坐标系中，求出平面绕点旋转角的变换公式。 解：设绕点旋转角后的点是，则因此 于是平面绕点旋转角的变换公式是： 证明：平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。 证明：记平面绕原点旋转的集合为。恒等变换是绕原点旋转角度上0的旋转，所以恒等变换。 设分别是绕原点转角是的旋转，则 设，是，则 所以绕原点转角是的旋转，即 设分别是绕原点转角是的旋转，则转角为（或）的旋转就是的逆变换，因此。 故平面绕原点旋转的集合是平面的一个变换群。 证明：平面上运动的集合是平面的一个变换群。 证明：由于运动是旋转与平移的乘积，所以恒等变换也是运动。 运动在直角坐标系下的表示公式是 设是两个运动，则 于是的表示公式是 因此乘积也是运动。 设运动的表示公式是 则解出的表达式有： 因此有逆变换 故平面上运动的集合是平面的一个变换群。 习题5.2 1.平面绕原点旋转，再平移，写出变换公式，并求出点。 解：平面绕原点旋转的变换： 平移的变换： 先绕原点旋转，再平移，即为： 于是点经此变换后的对应点的坐标是。 2.求把点变成点的绕原点的旋转，并求出曲线经此旋转的对应曲线。 解：设平面绕原点旋转的变换： 由于将点变成点，所以 解此方程得到，故变换是： 即。曲线经此旋转的对应曲线方程是，即。 3.设正交变换在直角坐标系Ⅰ中的公式为 若作直角坐标变换 求在新坐标系中的公式。 解：点，在新坐标系中的坐标分别记为，，于是有以下关系： 将它们代入变换公式中得到： 两边左乘矩阵的逆，整理得到 这就是变换在新坐标系中的公式。 4.平面上的点变换把直角坐标系Ⅰ变到直角坐标系Ⅱ，并且使每一点在Ⅰ下的坐标与它的像在Ⅱ下的坐标相同，则是正交变换。 证明：设直角坐标系Ⅰ为，直角坐标系Ⅱ为，并且 则过渡矩阵是正交矩阵。 再设在直角坐标系Ⅰ下， 于是得到点变换在直角坐标系Ⅰ下的变换公式： 故该点变换是正交变换。 5. 设平面上的点变换在直角坐标系下的公式为 其中是正交矩阵，证明是正交变换。 证明：设两点，的坐标，的坐标。则因为是正交矩阵，所以。 两点的距离是 故是正交变换。 6. 设和分别是平面上对于直线和的反射，设与交于点，且夹角为，证明：是绕点的旋转，转角为。 证明：以直线为轴，点为坐标原点建立直角坐标系，设 由于和分别是平面上对于直线和的反射，则且所以是绕点转角为的旋转。 此题也可以用写出变换公式来证明，请读者试一试。 习题5.3 1.求把三点分别变到点的仿射变换。 解：设仿射变换是 依题意得到，且 即 即 解以上方程组得 于是仿射变换是 2.证明：在仿射变换下，两个不动点的连线上每一点都是不动点。 证明：设是仿射变换的两个不动点，则设的连线上的任一点，满足则 故与重合，即是不动点。 3.求把三条直线依次变到 的仿射变换的公式。 解：两直线的交点是，的交点是；的交点是，的交点是；的交点是，的交点是。 设仿射变换的公式是则，且 即 即 解以上方程组得 于是仿射变换是 4.如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线。求仿射变换 的不动直线。 解：设不动直线是经仿射变换后直线的方程仍可化简为将仿射变换代入后一个方程，则有 即 于是存在关系： 因而得到或 若则故于是不动直线是 若则得到于是不动直线是 综上所述，仿射变换的不动直线有两条： 5.椭圆经过仿射变换： 化为，由此证明：椭圆的面积。 证明：仿射变换的变积系数是设椭圆的面积是，圆的面积是，则故椭圆的面积 6.设是平面上一个定点，如果平面上一个点变换把保持不变，且使平面上任一点变到，它们满足，其中，常数，则称是同位相似（或相似）