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第七章 实数的完备性 本章教学目的与基本要求： (1)、理解闭区间套、聚点、覆盖等基本概念； (2)、掌握实数连续性定理的内容并正确应用它们证明题目； (3)、了解实数连续性定理及闭区间上连续函数性质的证明方法。 本章重点： （1）、闭区间套、聚点、覆盖等基本概念； （2）、利用实数连续性定理及闭区间上连续函数的性质证明题目； 本章难点： （1）、闭区间套、聚点、覆盖等基本概念； （2）、利用实数连续性定理及闭区间上连续函数性质证明题目； （3）、实数连续性定理及闭区间上连续函数性质的证明。 本章课时安排：总课时8课时，其中第一节：关于实数集完备性的基本定理 4课时；第二节：闭区间上连续函数性质的证明 2课时；习作课2课时。 本章参考书籍：见导论。 §7.1　关于实数集完备性的基本定理 本节主要教学内容：闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、柯西收敛准则。 教学方法与设计：重点讲授闭区间套、聚点、覆盖等基本概念；定理的证明以讲授方法为主；多讲授例题使学生掌握基本概念及定理。 极限的基本问题有二：一是极限的存在性；二是极限的计算。而其存在性不仅与函数（或数列）的结构有关，还与所讨论的数域有关。例如在有理数域中讨论极限，单调有界定理就可能不成立，如的极限为就是一个无理数，即有理数域对极限运算是不封闭的。但实数域对极限运算是封闭的，这就是实数的完备性或称实数的连续性。 在第一、二章我们已学习了描述实数完备性的定理：确界定理、单调有界定理、柯西收敛准则，此外还有闭区间套定理、有限覆盖定理和聚点定理，它们彼此是等价的。本章将讨论它们的等价性，同时利用它们证明闭区间上连续函数的性质，从而使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的理论基础之上。 一、闭区间套定理与柯西收敛准则 闭区间套定理 （1）、闭区间套的定义 设闭区间列具有下列性质：有； 。则称闭区间列为闭区间套。即： ，且区间长度趋于零。 例： （2）闭区间套定理 设是一个闭区间套，则，使。 证明：由闭区间套的性质知单调增加有上界，故由单调有界定理知使，且。同理单调增加有上界，故也收敛，再由知，且。 下证唯一性。设满足上述条件，则，。 推论：若是由闭区间套所确定的数，则，，有。 证明：由及立即可证。 说明：（1）几何意义 （2）开区间列结论不一定成立，例如，。 （3）闭区间套定理的用法：要证明具有某性质的数存在，常常应用该定理。首先根据性质构造一个区间，将该区间二等份，使其中至少有一个子区间具有性质，继续使用二分法得一个闭区间套，然后证明该闭区间套“套”出来的数具有性质。 柯西收敛准则 收敛。 证明：设，则，所以有。 于是充分性获证。下证必要性： 由条件知。即在中含有的几乎所有项（在此区间之外至多只有的有限项）。 令。 记，则中含有的几乎所有项（在此区间之外至多只有的有限项）。 依次令，分别得，则中含有的几乎所有项（在此区间之外至多只有的有限项），。 于是得一个闭区间套，由闭区间套定理知。下证 事实上，由闭区间套定理的推论可知，因此内含有的几乎所有项（在此邻域之外至多只有的有限项）。即有。 例：证明：若在上连续，且，则。 证明：若或，则或，定理获证；设。 将二等份，若，则，定理获证；设，则两个子区间中必有一个子区间使。 将二等份，若，则，定理获证；设，则两个子区间中必有一个子区间使。 将上述步骤一直进行下去，得一个闭区间套，且。 由闭区间套定理知，若,则定理获证； 若，不妨设，由在上连续可知在连续，所以又由的性质可知，有，故，，与矛盾，证毕。 二、聚点定理与有限覆盖定理 聚点的定义 、设为数轴上的点集，为定点（可以属于，也可以不属于）若的任何邻域内都含有的无限多个点，则称为的一个聚点。 说明：（1）有限点集无聚点； （2）若数列的项各不相同，且，则点为点集的聚点； （3）注意点集与点列的区别。 例：(1)有一个聚点； （2）有二个聚点； （3）的聚点集为； （4）没有聚点。 证明：（1），即含有的无限多个点，故由聚点的定义可知是的一个聚点。 （3），由有理数的稠密性可知，内有无限多个有理数，即内含有的无限多个点，故由聚点的定义可知是的一个聚点，于是的聚点集为。 （4），取，则内至多含有的一个点，故由聚点的定义可知不是的聚点，因此没有聚点。 聚点的另两个定义 为的一个聚点； 为的一个聚点存在数列，且的项各不相同，有。 证明：显然成立； 已知条件为， 取； 取； 取 则数列，且的项各不相同，有。 由数列极限的定义立即可证。 聚点定理 数轴上任何有界点集至少有一个聚点。 证明：用闭区间套定理证明。 有界，，记为； 将二等份，则两个子区间中必有一个子区间含有的无限多个点； 将上述步骤一直进行下去，得一个闭区间套： ，每个闭区间含有的无限多个点。 由闭区间套定