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第三章 — 最佳平方逼近 内容提要 最佳平方逼近 最佳平方逼近 最佳平方逼近 最佳平方逼近 举例 最佳平方逼近多项式 正交函数最佳逼近 广义Fourier级数 正交多项式最佳逼近 Legendre 最佳逼近 最佳平方逼近 举例 Legendre 最佳逼近 Chebyshev 级数 Chebyshev 级数 举例 作业 * * 函数逼近 最佳平方逼近 最佳平方逼近函数、多项式 利用正交多项式计算最佳平方逼近多项式 Chebyshev 级数 设 f(x)? C[a, b]，?0(x), ?1(x), ?, ?n(x)?C[a, b] 线性无关，令 求 S*(x) ? ?，使得 则称 S*(x) 为 f(x) 在 ? 中的 最佳平方逼近函数 什么是最佳平方逼近 对任意 S(x) ? ?，可设 S(x) = a0?0 + a1?1 + · · · + an?n(x) 则求 S*(x) 等价于求下面的多元函数的最小值点 k = 0, 1, …, n 如何求 S*(x) 即 k = 0, 1, …, n 法方程 G 法方程存在唯一解 det(G) ? 0 ?0, ?1, ?, ?n 线性无关 设法方程的解为： a0* , a1*, ?, an* , 令 S*(x) = a0* ?0 + a1* ?1 + · · · + an* ?n(x) 定理：S*(x) 是 f(x) 在 ? 中的唯一最佳平方逼近函数，且逼近误差为 证明：板书 存在唯一性 求 在[0, 1]上的一次最佳平方逼近多项式 例：(教材68页，例 6) 解： S*(x) = 0.934 + 0.426 x f(x)? C[a, b] 在 Hn 中的最佳平方逼近，记为 设 f(x)? C[0, 1]，取 Hn 的一组基：1, x, x2, ? , xn ，则法方程为 H Hilbert 矩阵 H 严重病态只适合求低次最佳逼近 最佳平方逼近多项式 若 ?0, ?1, ?, ?n 正交，则法方程的解为 k = 0, 1, …, n 误差 Bessel 不等式 用正交基求最佳平方逼近 设 ?0, ?1, ?2, ? 是正交函数族，则称 为 f(x) 的 广义 Fourier 级数 广义 Fourier 级数 其中 为广义Fourier系数 定理：若 ?0, ?1, ?, ?n 是正交多项式族，Sn* (x) 为 f(x) 的 n 次最佳平方逼近多项式，则 用正交多项式作最佳逼近 证明：略 其中 设 f(x)? C[-1, 1]，?(x) = 1，则 f(x) 的 n 次最佳平方逼近多项式为 误差 Legendre 多项式求最佳逼近 定理：若 f(x)? C2[-1, 1], 则对任意 x? [-1, 1] 和 ? ? 0 ，当 n 充分大时，有 定理：在所有首项系数为 1 的 n 次多项式中， 在 [-1, 1] 上与零的平方逼近误差最小，即 其中 是首项系数为 1 的 n 次 Legendre 多项式 证明：略 证明：板书 求 在[-1, 1]上的三次最佳平方逼近多项式 例：(教材71页，例 7) S3*(x) = 0.1761x3 + 0.5367x2 + 0.9979x + 0.9963 解：直接计算可得 误差 设 f(x)? C[a, b]，?(x) = 1 ，计算 f(x) 在 [a, b] 上的最佳平方逼近多项式 变量代换 [a, b] [-1, 1] f(x) S*(t) 一般区间上的最佳平方逼近多项式 在广义 Fourier 级数中取 ?k = Tk , k = 0, 1, 2, … 其中 一致收敛性：若 f ”(x) 在 [-1, 1] 上分段连续，则 Chebyshev 级数 部分和 误差 可看作是 f (x) 在 [-1, 1] 上的近似最佳一致逼近多项式 求 在[-1, 1]上的 Chebyshev 级数部分和 例：(教材72页，例 8) 误差 解： 直接计算可得