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高中数学专题复习 ——用分类讨论的思想解题 数学科 陈勇法 【摘 要】分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境。 【关键词】分类讨论 分类讨论思想 分类讨论步骤。 分类，是自然科学中基本的逻辑方法之一。 数学中的分类是以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间或涉及的范围的共同点和差异点，然后，根据共同点将数学对象或有关范围归结为较大的类，根据差异点将数学对象或有关范围划分为较小的类，从而将数学对象或有关范围区分或剖分为具有一定从属或包含关系的不同等级的系统。 在解某些数学问题的时候,需要将问题所涉及的所有对象依照一定的标准分成若干类,然后逐类加以讨论,最终才能得出正确的解答,这种方法称为分类讨论法。它既是一种逻辑方法，也是数学中的一种重要思想方法和解题的策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法分类讨论题覆盖的知识点较多,有利于考查学生的知识面、分类思想和解题技巧,同时方式多样,具有较高的逻辑性和较强的综合性树立分类讨论思想,应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏地分析讨论归纳小结，综合得出结论”，此处v表示顶点数，e表示棱数，f表示面数。 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。如:2004湖南省高考的文科卷(16)、(19)、理科卷（10）、（14）、（18），2004年全国卷文科19，2006年广东9，2008年全国一19第一问，2008广东理19等.笔者在教学中发现，学生经常在解题中忽略对条件的分类讨论，或者虽然有分类讨论，但分类标准不同意或分类讨论不完全。为此，由必要让学生理解分类讨论的原因（why）、对象（what）－1就应以底数x＞1和0＜x＜1进行分类讨论，即：当x＞1时，, 当0＜x＜1时，； 由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论。例如，等比数列前几项和公式是分别给出的：，所以在解这类问题时，如果q是可以变化的量，就要以q为标准进行分类讨论； 由图形的不确定性引起的分类讨论； 由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 分类讨论的类型 （1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论； （2）问题中的条件是分类给出的； （3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； （4）有关几何问题中，集合元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。 解分类讨论问题的步骤： （1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论； （2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重负、不遗漏、标准要统一、分层不越级）； （3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； （4）归纳总结：将各类情况总结归纳。 范例剖析 【例1】绝对值的定义是： 。 分析：所以在解含有绝对值的不等式时，就必须根据确定，正负的x值1和2将定义域（0，3）分成三个区间进行讨论，即0＜x＜1，1≤x＜2，2≤x＜3三种情形分类讨论。 【例2】。 分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。 解： 【变式题】 分析： 第一步,确定讨论对象及其范围.因为方程系数中含有参数k, 所以将k视为研究对象,k的取值范围是全体实数R. 第二步,选择正确分类标准,合理分类. 当k≠4且k≠8时,方程可变形为, (k－4)与(8－k)的正负会引起曲线有不同的类型,故“4”和“8”是一个分界点,而k－4=8－k与k－4＞0, 8－k＞0,但k－4≠8－k 所表示的曲线也是不一样的,因此,“6”也是一个分界点, 所以对k进行正确的分类应为：(﹣∞,4) ，4，(4,6)，6，(6,8)，8，(8,﹢∞) 第三步,逐类、逐段分类讨论 (1) k=4时,方程变为 4x2=0,即x=0 表示直线 (2)k=8时,方程变为 4y2=0,即y=0 表示直线 (3)k≠4且k≠8时,原方程化为 （i）当k＜4时 表示双曲线 （ii）当4＜k＜6时 表示椭圆 （iii）当k=6时 表示圆 （iv）当6＜k＜8时 表示椭圆 （v）当k＞8时