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第十九章　數值分析 19-1　遞 迴 19-2　數值分析範例 二三十年前沒有電腦的時候，數值分析這個研究主題其計算過程通常是最令人畏懼的問題，所以通常要有一批工讀生日以繼夜從事計算工作，隨著電腦科技的進步許多數學家的數值分析結論才又被人從新驗證，並讚嘆其偉大。 數值分析大部份都在解決級數問題，級數問題如能充份理解遞迴的觀念答案即可迎刃而解，而遞迴在近十年的程式語言裏已列為標準配備，連VB也難脫俗，所以本章10-1節先強調基本遞迴的觀念及程式撰寫法，並以快速排序法為例先以遞迴法強調其程式的簡潔性，再以非遞迴法自行安排堆疊來說明遞迴的觀念，其次10-2節再以數值分析實際面對的問題如割線法（Secant）法解方程式的解及牛頓除差法（Newton divided-difference）來解多項式的對應值，若讀者能充份了解以上問題的程式設計過程，相信都能解決所有的數值分析問題，筆者再強調一次千萬不要每一題都去找解答，一定要自己作才會有深刻的印象。 19-1　遞 迴 所謂遞迴就是程序自己呼叫自己。在程式設計的領域裏，有許多情況使用遞迴可以減輕程式設計的負擔，並增加程式的可讀性，就如同人類日常思考模式常有重覆某一件事直到什麼條件時結束。所以遞迴也是一種特殊的迴路，尤其數值分析的問題用得最多。 範例19-1A　試以二分猜值法求輸入正數的平方根。(本範例使用程序Sub)。 目　　的 使讀者了解遞迴的使用。 輸出結果 程式列印 Rem 19_1A Private Sub cmd_Click() Dim Msg, x1, x2 value = InputBox(, 輸入正數, 16) x1 = 0: x2 = value: x = value sqrt x1, x2, x Msg = value 的其平方根是 x MsgBox Msg End Sub Private Sub sqrt(ByVal x1, ByVal x2, value) Dim x3 If Abs(x1 - x2) 0Then value = x1 Exit Sub End If x3 = (x1 + x2) / 2 If x3 * x3 - value 0 Then sqrt x3, x2, value Else sqrt x1, x3, value End If End Sub 程式說明 遞迴過程須變動的參數，必須用傳值法。本例value參數使用傳址法傳回運算結果。 範例19-1B　以Function重作上範例。 程式列印 Rem 19_1B Dim x, value As Double Private Sub cmd_Click() Dim Msg, x1, x2 value = InputBox(, 輸入正數, 16) x1 = 0: x2 = value x = sqrt(x1, x2) Msg = value 的其平方根是 x MsgBox Msg End Sub Private Function sqrt(ByVal x1, ByVal x2) If Abs(x1 - x2) 0.0000001 Then sqrt = x1 Exit Function End If x = (x1 + x2) / 2 If x * x - value 0 Then sqrt = sqrt(x, x2) Else sqrt = sqrt(x1, x) End If End Function 範例19-1C　以遞迴法求算10+9+8+7...+1之和。 程式列印 Rem 19_1C Private Sub cmd_Click() d = sum(10) Print d End Sub Private Function sum(m As Integer) If m = 1 Then sum = 1 Exit Function Else sum = m + sum(m - 1) End If End Function 程式說明 以 d＝sum(4) 解說 m＝4 執行Else　sum＝4+sum(3)　　　繼續呼叫sum函數 m＝3 執行Else　sum＝4+3+sum(2)　　繼續呼叫sum函數 m＝2 執行Else　sum＝