理论力学简明教程 中、少学时 孟庆东 第十四章 机械振动基础新.pptVIP

第十四章 机械振动基础 主要研究内容 §14－1 单自由度系统的自由振动 §14－1 单自由度系统的自由振动 §14－1 单自由度系统的自由振动 §14－1 单自由度系统的自由振动 §14－1 单自由度系统的自由振动 §14－1 单自由度系统的自由振动 §14－2 单自由度有阻尼的自由振动 §14－2 单自由度有阻尼的自由振动 §14－2 单自由度有阻尼的自由振动 §14－2 单自由度有阻尼的自由振动 §14－3 单自由度系统的强迫振动 §14－3 单自由度系统的强迫振动 §14－3 单自由度系统的强迫振动 §14－3 单自由度系统的强迫振动 §14－3 单自由度系统的强迫振动 §14－4 振幅 §14－4 振幅 §14－4 振幅 §14－4 振幅 第十四章 机械振动基础 制作与设计：闫芳 审核 孟庆东 单自由度系统的自由振动 单自由度有阻尼的自由振动 单自由度系统的强迫振动 隔 振 自由振动微分方程 如图所示质量一弹簧单自由度系统中，设质量为m，弹簧原长为l0，刚性系数为七。为分析其运动规律，先列出其运动微分方程 取重物平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下。重物在平衡位置时，在重力FP =mg的作用下，弹簧的变形为δst称为静变形由平衡条件得知，重物所受的重力与弹簧的拉力大小相等而方向相反，即FP =kδs 而重物在任意位置x处弹簧力F在x轴上的投影为 其运动微分方程为 推导得 上式表明，物体偏离平衡位置于坐标x处，将受到与偏离距离成正比、与偏离方向相反的合力. 周期的倒数，即每秒振动的次数称为振动频率用f表示，即 由此得自由振动的周期为 无阻尼自由振动的特点 固有频率 无阻尼自由振动是简谐振动,一种周期振动，任何瞬时t，其运动规律x(t)可以写为 正弦函数的周期为2π，即 推导得 因为 故 从上式可见，自由振动的振幅和初相位都与初始条件有关。 振幅与初相位 例14-1 如图所示，质量m=0.1kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下。当物块下落高度h=0.1m时撞到无质量弹簧上并与弹簧不再分离。弹簧刚度系数k=0.8KN/m，倾角β=30°。求系统振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。 解：物体在弹簧的自然位置A处碰上弹簧。若物块平衡时，由于斜面的影响，弹簧应有变形量 (a) 以物块平衡位置0为原点，取x轴如图所示。物块在任意位置x处受重力， mg斜面约束力FN和弹性力F作用，物块沿x轴的运动微分方程为 将式(a)代入上式，得 此系统的通解为 (b) 当物块碰上弹簧时，取时间t0作为振动的起点，此时物块的坐标即为初位移 物块碰上弹簧时，初始速度为 得振幅及初相位为 则此物块的运动方程为 阻尼 引入：前面研究的无阻尼自由振动是简谐振动，振幅和周期不变，运动永远持续；但实际上，由于存在阻力，不断消耗系统的能量，使自由振动逐渐衰减直至完全停止。 定义：振动的阻力。 分类：粘滞阻尼、摩擦阻尼、非线性阻尼 粘滞阻尼 物体在阻尼介质中低速运动时，介质对物体的阻力近似地与物体速度成线性 正比，方向与物体的速度方向相反。即 Fc=-cv 上式：C-粘滞阻尼系数，取决于物体的形状、尺寸及介质的性质,单位是kg/s。 Ⅰ 小阻尼情况 在小阻尼情况下，振动不是等幅的简谐振动。振幅随时问衰减，称为 衰减振动(damped vibration)，也不是周期性振动。 减缩因子 可见，衰减振动的振幅按几何级数迅速衰减。 对数减缩因子 Ⅱ 大阻尼情况 Ⅲ 临界阻尼情况 当δ=ωn时，物体的运动开始失去振动的特性，所以对应的阻尼系数称为 临界阻尼系数(critical damping coefficient)，用cc表示。 如图所示，具有黏性阻尼的质量一弹簧系统， 其上作用着简谐干扰力F。 解：以静平衡位置O原点，建立向下为正的x。考虑到重力 与弹簧静变形所产生的弹性力相平衡，重物m的运动微 分方程为 受迫振动的微分方程及通解 它是一个二阶常系数线性非齐次的微分方程，其解由两部分组成 受迫振动的微分方程及通解 经推到上式的通解为 由上式可知：有阻尼受迫振动由两部分合成， （1）衰减振动，如图a所示； （2）受迫振动，如图b所示。 其中衰减振动部分经过一定时间后，很快衰 减并逐渐消失，这段过程称为瞬态过程。一 般说来，瞬态过程是短暂的，以后系统基本 上按第二部分受迫振动的规律进行振动，仅 剩下受迫振动的过程称为稳态过程，如