MATLAB实用教程 作者 张磊 郭莲英 丛滨 02.pptVIP

* 1．Cholesky分解 Cholesky分解是把对称正定矩阵A表示为上三角矩阵R的转置与其本身的乘积，即A = RTR。在MATLAB中用函数chol()来计算Cholesky分解。 2．LU分解 高斯消去法又称LU分解，它可以将任意一个方阵A分解为一个交换下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。交换下三角矩阵为下三角矩阵经行变换的结果。 LU分解在MATLAB中用函数lu()来实现，其具体用法如下： [L,U] = lu(X)，X为一个方阵，L为交换下三角矩阵，U为上三角矩阵，满足关系X=L*U； [L,U,P] = lu(X)，X为一个方阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，P为置换矩阵，满足关系P*X = L*U或X =P?1 *L*U。 ? * 考虑线性方程组AX=B和矩阵A的LU分解，线性方程组可以改写成L*U*X=B，由于左除算符\可以快速处理三角矩阵，因此可以快速解出： X=U\(L\B) 矩阵的行列式和逆也可以利用LU分解来计算，如 det(A)=det(L)*det(U) inv(A)=inv(U)*inv(L) 对于稀疏矩阵，在MATLAB中提供了函数luinc()来做不完全LU分解，其具体用法如下： [L U]= luinc(X,DROPTOL)，其中X、L和U的含义与函数lu()中的变量相同，DROPTOL为不完全LU分解的丢失容限。当DROPTOL设为0时，退化为完全LU分解。 [L,U] = luinc(X,0)，0级不完全LU分解。 [L,U,P] = luinc(X,0)，0级不完全LU分解。 * 3．QR分解 QR分解就是将m×n的矩阵A分解为m×n的矩阵Q和n×n的上三角矩阵R的乘积，且Q*Q=I，即A=Q*R。 在MATLAB中QR分解是由函数qr()来实现，其具体用法如下： [Q,R] = qr(A) 满足A=Q*R。 R = qr(A)， 返回上三角矩阵R。 4．奇异值分解 奇异值分解就是将m?n的矩阵A分解为A=U*S*V’，其中U为m?m的酉矩阵，V为n?n的酉矩阵，S为m?n的矩阵，并可如下表示： ，其中 ， ， 在MATLAB中奇异值分解是由函数svd()来实现，其具体用法如下： [U,S,V] = svd(X)，满足A=U*S*V’，并且 按降序排列。 S = svd(X)， 返回 ，并且 按降序排列。 * 2.4.4 矩阵的特征值和特征向量 方阵A的特征值λ和其对应的特征向量ν满足下式： A*ν=λ*ν 在MATLAB中用函数eig()来计算特征值和其对应的特征向量，其具体用法如下： d = eig(A)， 返回矩阵A的所有特征值。 [V,D] = eig(A)，返回矩阵A的特征值和特征向量。 2.4.5 矩阵相似变换 矩阵相似变换是指，对于方阵A和非奇异矩阵B可得到相似矩阵X=B-1*A*B。 1．对角阵变换 对于方阵A，若[V D]=eig(A)得到的矩阵V非奇异，则A可经过相似变换得到对角阵，即D=V-1*A*V，也称矩阵A可对角化。 ? * 2．Jordan变换 对于方阵A，若[V D]=eig(A)得到的矩阵V奇异，则A经过相似变换将不能得到对角阵，只能得到其对应的Jordan标准型。Jordan标准型是由若干Jordan块构成，如下所示： ，其中 为mi重的特征根 对应的Jordan块。 在MATLAB中用函数jordan()来实现Jordan变换，其具体用法如下： [V,D] = jordan(A)， 满足D=V-1*A*V。 D = jordan(A)， 返回矩阵A对应的Jordan标准型。 ? * 2.4.6 非线性运算 MATLAB提供一些矩阵的非线性运算函数，其功能如表3-3所示。 ? 1．矩阵指数运算 在MATLAB中用函数expm()来计算矩阵指数，其具体用法如下： Y = expm(X)，返回矩阵X的指数。 函 数 名 功 能 描 述 ? 函 数 名 功 能 描 述 expm 矩阵指数运算 ? sqrtm 矩阵开平方运算 logm 矩阵对数运算 ? funm 通用矩阵运算 * 2．矩阵对数运算 矩阵对数运算是矩阵指数运算的逆运算，在MATLAB中用函数logm()来计算矩阵对数，其具体用法如下： L = logm(A)，返回矩阵A的对数。 3．矩阵开平方运算 在MATLAB中，有两种计算矩阵A平方根的方法，即A^0.5和sqrtm(A)。函数sqrtm()比A^0.5的运算精度更高，其具体用法如下： X = sqrtm(A)，返回矩阵A的平方根X。 4．通用矩阵运算 MATLAB提供通用矩