离散数学及其应用 作者 魏雪丽 第7章 图论.pptVIP

第七章 图论(Graph Theory) 7.1 图的基本概念(Graph) 7.2 路与图的连通性(Walks Connectivity of Graphs) 7.3 图的矩阵表示(Matrix Notation of Graph) 7.4 欧拉图与哈密尔顿图(Eulerian Graph Hamilton-ian Graph ) 7.5 平面图(Planar Graph) 7.6 树与生成树(Trees and Spanning Trees) 7.7 根树及其应用(Rooted Trees and Its Applications) 7.1 图的基本概念 7.1.1 图的基本概念 7.1.2 图的结点的度数及其计算 7.1.3 子图和图的同构 7.1 图的基本概念 7.1 图的基本概念 7.1.1 图 现实世界中许多现象能用某种图形表示,这种图形是由一些点和一些连接两点间的连线所组成。 【例7.1.1】a， b， c， d 4个篮球队进行友谊比赛。 为了表示４个队之间比赛的情况， 我们作出图 7.1.1的图形。 在图中４个小圆圈分别表示这４个篮球队， 称之为结点。 如果两队进行过比赛， 则在表示该队的两个结点之间用一条线连接起来， 称之为边。 这样利用一个图形使各队之间的比赛情况一目了然。 7.1 图的基本概念 7.1 图的基本概念 我们也可以点代表工厂,以连接两点的连线表示这两工厂间有业务往来关系。这样便可用图形表示某一城市中各工厂间的业务往来关系。这种用图形来表示事物之间的某种关系的方法我们也曾经在第 三 章中使用过。 对于这种图形,我们的兴趣在于有多少个点和哪些点对间有线连接,至于连线的长短曲直和点的位置都无关紧要。对它们进行数学抽象我们就得到以下作为数学概念的图的定义。 7.1 图的基本概念 定义7.1.1一个图G是一个序偶〈V(G), E(G)〉， 记为G＝〈V(G), E(G)〉。 其中V(G)是非空结点集合， E(G)是边集合， 对E(G)中的每条边， 有V(G)中的结点的有序偶或无序偶与之对应。 若边e所对应的结点对是有序偶〈a,b〉,则称e是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。若边e所对应的结点对是无序偶(a,b) ,则称e是无向边。这时统称e与两个结点a和b互相关联。 7.1 图的基本概念 【例7.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中 V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b)。则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。 7.1 图的基本概念 7.1 图的基本概念 7.1 图的基本概念 2. 图G的结点与边之间的关系 邻接点: 同一条边的两个端点。 孤立点: 没有边与之关联的结点。 邻接边: 关联同一个结点的两条边。 孤立边: 不与任何边相邻接的边。 自回路（环）：关联同一个结点的一条边（（v，v）或〈v，v〉）。 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。 7.1 图的基本概念 如例7.1.1中的图，结点集V＝｛a，b，c，d｝， 边集 E＝｛e1， e2， e3， e4， e5｝， 其中 e1＝（a，b），e2＝（a, c），e3＝（a，d）， e4＝（b, c）， e5＝（c, d）。 d与a、 d与c是邻接的， 但d与b不邻接， 边e3与e5是邻接的。 7.1 图的基本概念 【例7.1.3】设图G＝〈V ,E〉 如图7.1. 3所示。 这里V＝｛v1，v2，v3｝， E＝｛e1，e2，e3，e4，e5｝， 其中e1 =(v1, v2) ，e2=(v1，v3) ， e3 =(v3, v3), e4 =(v2, v3), e5=(v2，v3)。 在这个图中， e3是关联同一个结点的一条边,即自回路； 边e4和e5都与结点v2、 v3关联， 即它们是多重边。 7.1 图的基本概念 7.1 图的基本概念 3. 图G的分类 按G的结点个数和边数分为(n,m)图,即n个结点, m条边的图; 特别地, (n,0)称为零图, (1,0) 图称为平凡图 。 (2) 按G中关联于同一对结点的