离散数学 第2版 作者 尤枫 第03章 集合论.PPTVIP

第3章 集 合 论 3.1.1 概述 3.1.2 集合的表示法 3.1.3 集合的包含关系 3.2.1 文氏图 3.2.2 集合的交 3.2.3 集合的并 3.2.4 集合的补 3.2.5 集合的对称差 3.3集合成员表 3.4 集合定律 3.4 集合定律 3.2.2 集合的交 第3章 集 合 论 【例3-9】设A?B，C是任意集合，求证 A∩C ? B∩C 证明 由条件A?B知，若x∈A，则x∈B。 对于任意的x∈A∩C，由∩的定义，有 x∈A且x∈C 即 x∈B 且 x∈C 故 x∈B∩C 因此 A∩C?B∩C 证毕。 第3章 集 合 论 定义3-8 设A,B是任意给定的两个集合，由A和B的 全部元素组成的集合S，称为A和B的 并集，记作A∪B。即 S=A∪B={x|x∈A∨x∈B} 如图所示的阴影部分表示新组成的集合S。 E A B 3.2.3 集合的并 第3章 集 合 论 【例3-10】设 A1={a,2}, A2={2,m}, A3={2,3}, A4={a,m}， 则 A1∪A2 ={a,2,m} A3∪A4 ={2,3,a,m} 3.2.3 集合的并 第3章 集 合 论 【例3-11】设A?B，C?D，求证A∪C?B∪D。 证明 对任意的x∈A∪C，由“并”运算的定义有 x∈A 或 x∈C 若x∈A，则由A?B，有x∈B，故x∈B∪D； 若x∈C，则由C?D，有x∈D，故x∈B∪D。 因此 A∪C?B∪D 证毕。 3.2.3 集合的并 第3章 集 合 论 【例3-12】求证 (1) A?B 当且仅当 A∪B = B (2) A?B 当且仅当 A∩B = A 证明 (1) 若A?B，则对任意的x∈A，必有x∈B。 对任意的x∈A∪B，有x∈A或x∈B， 即x∈B，所以，A∪B?B。又B?A∪B， 于是得到A∪B=B。 反之，若A∪B=B，因为A?A∪B，所以A?B。 (2) 其证明过程与(1)类似。 第3章 集 合 论 定义3-9 设A,B是任意给定的两个集合，由所有属于 A而不属于B的元素组成的集合S，称为B对 于A的补集，或相对补，记作A-B。即 S=A-B={x|x∈A∧x?B} 如图所示的阴影部分为S。 E A B 3.2.4 集合的补 第3章 集 合 论 【例3-13】设 A={a,7,c}, B={m,c,2}， 求A-B。 解 A-B = {a,7}。 3.2.4 集合的补 第3章 集 合 论 定义3-10 设E为全集，对任一集合A对于E的补E-A， 称为集合A的绝对补，记作~A或A＇。 即 ~A=E-A={x|x∈E∧x?A} 如图所示的阴影部分为~A。 E E A 从文氏图中可以看出，对于任意的x，若x∈A， 则x?~A；反之，若x∈~A，则x?A。 3.2.4 集合的补 第3章 集 合 论 【例3-14】设E={1,2,3,4},A={1,2,3}，求~A。 解 ~A={4}。 【例3-15】设A,B为任意两个集合， 则A-B=A∩~B。 证明