线性代数第3版 作者 陈建华 33线性相无关.pptVIP

* * 第三章 向量与线性方程组 1. 任一n维向量 都是Rn的基本单位向量组 定义: 给定一组向量 , 若存在一组数k1,k2, …,ks,使 ,则称向量 是向量组 的线性组合，或称向量 可由向量组 线性表示。 的线性组合: 复习： 可由 线性 表示 (线性方程组)有解 2. 二、线性组合(线性表示) 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 三、线性相关与线性无关 齐次线性方程组的向量形式: ∵零向量是任一组同维向量的线性组合 ∴齐次线性方程组必有零解 齐次线性方程组有非零解 存在不全为0的k1, k2, …, kn 使 ——称 定义：给定向量组 , 若存在不全为零的数k1, k2, …, ks ,使 ,则称向量组 线性相关； (“线性无关”定义?) 若当 线性相关. 且仅当k1=k2=…=ks=0时上式成立, 则称 线性无关. 返回 第三章 向量与线性方程组 (2)一个向量 线性相关 (4) 线性相关 有非零解 r n (无) (仅有零解) (r＝n) 定理1 n个n维向量线性相关 (无关) 定理2 n＋1个n维向量必线性相关 (∵方程个数未知量个数,必有非零解) 结论:(1) 含有零向量的任一向量组必线性相关。 (3)两个向量线性相关 对应分量成比例 向量个数 向量维数 ＝未知量个数； ＝方程个数. (≠0) 返回 第三章 向量与线性方程组 例1 基本单位向量组 线性无关 例2.判断 是否线性相关. ∵r = 2 3 ＝向量个数， 线性相关 解:设 则 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 线性表示—— 竖排行变换， 放末列. 是否线性相关—— 竖排行变换. 返回 第三章 向量与线性方程组 例3.证明：若 线性无关, 则 线性无关 证:设 (*) 则 而 线性无关 ∴方程组只有零解ki = 0 (目标: ki = 0) 即只有k1=k2=k3=0时(*)式才成立 . 线性无关 线性无关 线性无关? × (奇数个向量时结论成立) 思考： 返回 第三章 向量与线性方程组 定理3 若向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关， 则整个向量组线性相关. (记：部分相关 整体相关； 注：向量组中向量两两线性无关，整个向量组未必线性无关. 例(1,0), (0,1), (1,1). 定理4 若向量组线性无关，则每个向量在相同位置添加一些分量后所得高维向量组线性无关；若向量组线性相关，则每个向量在相同位置去掉一些分量后所得低维向量组线性相关. （记：短无关 长无关；长相关 短相关） 逆否命题：整体无关 部分无关) 返回 证: 设 ,则 : 推论:向量组 线性无关 定理5 向量组 线性相关 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合. 其中任一向量都不能由其余向量线性表示. 四、关于线性组合与线性相关的定理 ,设kj≠0，则: 返回 定理6. 线性无关， 线性相关 证① ②设 线性相关 ∴存在不全为0的数k, ki ,使 ∴k≠0 (反证可得) 线性无关 线性无关 即 由 线性表示法唯一. 则 可由 唯一线性表示. ∴ ki=li(i=1,2,…,s) 返回 例:任一n维向量 可由Rn的基本单位向量组 唯一地线性表示为： 例5(05考研) 设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a), (4,3,2,1)线性相关且a≠1，则a＝ 返回 设向量组 线性相关，