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甲子 与 数学 ——从《左传》的一则故事讨论我国古代数学 ZJU 《左传》襄公三十年 二月癸未，晋悼夫人食舆人之城杞者，绛县人或年长矣，无子而往，与于食。有与疑年，使之年。曰：“臣，小人也，不知纪年。臣生之岁，正月甲子朔，四百有四十五甲子矣，其季于今三之一也。”吏走问诸朝。师旷曰：“鲁叔仲惠伯会郤成子于承匡之岁也。……七十三年矣。”史赵曰：“亥有二首六身，下二如身，是其日数也。”士文伯曰：“然则二万六千六百有六旬也。”…… 甲子 天文 历法 绛县老人自道不知纪年，只记得甲子轮回了多少次。 后人用甲子代指六十干支的一次轮回，代指年岁，代指八字，盖皆源于此。 而中国的古历中干支本作为记日的符号，东汉以后才正式用于表示年份。这种六十日一轮回，将它和绛县老人的“甲子”合观，其实本质上是一种六十进制，当然这个用法是个特例。（何为进制？） 甲子 天文 历法 小议 古中国纪月则直接采用数字表示，十二月一轮回，将它和纪年方法合观，本质上是一种是十二进制。 中国最普遍采用的乃是十进制，历史悠久的“小九九”乘法口诀（据文献记载至少春秋时已有）正是十进制下的必然产物。 《周易》采用二进制思想，西汉扬雄所撰《太玄》采用三进制思想。（注意：只是思想而已） 甲子 天文 历法 甲子 天文 历法 干支 巡乘六甲（西汉 扬雄） 天干：1甲、2乙、3丙、4丁、5戊、6己、7庚、8辛、9壬、10癸，将序数记作X 地支：1子、2丑、3寅、4卯、5辰、6巳、7午、8未、9申、10酉、11戌、12亥，将序数记作Y 干支 编号 将序数记作Z 则考虑 Z=f(X,Y) 甲子 天文 历法 同余 Z≡X（mod10） Z≡Y（mod12） X≡Y（mod 2） ——来自百度百科 我的求法 甲子 天文 历法 考虑将干支的编号扩展到更大的范围 干支以六十位周期轮回 故 将Z=f(X,Y) (Z∈[1,60]∩N) 扩展为 Z=f(X,Y)+60n (n∈N,f(X,Y)∈[1,60]∩N) 再考虑Z，X，Y三者的关系 甲子 天文 历法 表1 01甲子 11甲戌 21甲申 31甲午 41甲辰 51甲寅 02乙丑 12乙亥 22乙酉 32乙未 42乙巳 52乙卯 03丙寅 13丙子 23丙戌 33丙申 43丙午 53丙辰 04丁卯 14丁丑 24丁亥 34丁酉 44丁未 54丁巳 05戊辰 15戊寅 25戊子 35戊戌 45戊申 55戊午 06己巳 16己卯 26己丑 36己亥 46己酉 56己未 07庚午 17庚辰 27庚寅 37庚子 47庚戌 57庚申 08辛未 18辛巳 28辛卯 38辛丑 48辛亥 58辛酉 09壬申 19壬午 29壬辰 39壬寅 49壬子 59壬戌 10癸酉 20癸未 30癸巳 40癸卯 50癸丑 60癸亥 甲子 天文 历法 表2 01甲子 13丙子 25戊子 37庚子 49壬子 02乙丑 14丁丑 26己丑 38辛丑 50癸丑 03丙寅 15戊寅 27庚寅 39壬寅 51甲寅 04丁卯 16己卯 28辛卯 40癸卯 52乙卯 05戊辰 17庚辰 29壬辰 41甲辰 53丙辰 06己巳 18辛巳 30癸巳 42乙巳 54丁巳 07庚午 19壬午 31甲午 43丙午 55戊午 08辛未 20癸未 32乙未 44丁未 56己未 09壬申 21甲申 33丙申 45戊申 57庚申 10癸酉 22乙酉 34丁酉 46己酉 58辛酉 11甲戌 23丙戌 35戊戌 47庚戌 59壬戌 12乙亥 24丁亥 36己亥 48辛亥 60癸亥 甲子 天文 历法 Z-X=10a ① Z-Y=12b ② 其中，a，b为某个自然数 6×①-5×②后得 Z-(6X-5Y)=60(a-b) 又Z=f(X,Y)+60n 所以Z=[6X-5Y+60(a-b)]+60n1 =6X-5Y+60n 其中，n∈N 甲子 天文 历法 回到求老人年纪的问题 老人生于正月甲子，他说话的时候是二月癸未 利用前面的公式(还要作一点简单推导) D=6×10-5×8+60×(445-1)=26660 通过两种方法算出日数后，再要回推老人的出生年份就要有一点历法知识了。 但中国的历法大月30天，小月29天，又置闰月的规则不象公历那样简单刻板，所以不很简单。 甲子 天文 历法 师旷称绛县老人七十三岁，而会于承匡之岁在公元前六一六年，襄公三十年则为公元前五四三年，相差七十三年。 也就是说，当时人们采用“岁尽增