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若干运算公式的证明（利用公式得） 第一章 电磁现象的普遍规律 * 电动力学习题 （利用公式 得） 1. 根据算符 的微分性与向量性，推导下列公式： 解： （1） （2）在（1）中令 得： 所以 即 2. 设 是空间坐标 的函数，证明： ， ， 证明： （1） （2） （3） 3. 设 为源点 到场点 的距离， 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商 的关系： ； ； ； ， 。 （2）求 ， ， ， ， 及 ， 其中 、 及 均为常向量。 （1）证明： (a) 可见 (b) 可见 (c) (d) ， （2）解： (a) (b) (c) (d) 因为， 为常向量，所以， ， ， 又 ， (e) ， 为常向量， 而 所以 (f) 4. 应用高斯定理证明 ，应用斯托克斯（Stokes）定理证明 证明：（I）设 为任意非零常矢量，则 根据矢量分析公式 令其中 ， ，便得 所以 因为 是任意非零常向量，所以 （II）设 为任意非零常向量，令 ，代入斯托克斯公式，得 （1）式左边为： （1）式右边为： 所以 因为 为任意非零常向量，所以 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ，利用电荷守恒定律 证明p的变化率为： 证明：方法（I） 因为封闭曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故 ， 同理 ， 所以 方法（II） 根据并矢的散度公式 得： 6. 若m是常向量，证明除 点以外，向量 的旋度等于标量 的梯度的负值，即 ，其中R为坐标原点到场点的距离， 方向由原点指向场点。 证明： 其中 ，（ ） ，（ ） 又 所以，当 时， 7. 有一内外半径分别为 和 的空心介质球，介质的电容率为 求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）因场强分布具有对称性，以场点到球心距离 为 为半径作同心球面作为高斯面 。由高斯定理 可得：当 时， ， 当 时， 向量式为 ，使介质球内均 带静止自由电荷 ， 当 时， 向量式为 （2）当 时， 当 时， 当 时， 8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流 ，导体的磁导率为 ，求磁感应强 度和磁化电流。 有恒定均匀自由电流 解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路， 设其半径为 。由对称性可知，磁场在垂直 于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 时，由安培环路定理得： 当 时，由环路定理得： 所以 向量式为 当 时， 所以 （2）当 时，磁化强度为 在 处，磁化面电流密度为 在 处，磁化面电流密度为 矢量式为 矢量式为 证明：在均匀介质中 所以 9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度 总是等于体自由电荷 的 倍。 密度 10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明: 线圈1在线圈2的磁场中受的力: 而 同理: 线圈2在线圈1的磁场中受的力: 同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力： (2) (1)式中： 同理(2)式中： (1) 11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 和 ，电容 率为 和 ，今在两板接上电动势为E 的电池，求： （1）电容器两极板上的自由电荷面密度 解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀， 当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为 取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得： 分别设为 和 ，电位移分别设为 和 ，其方向均由正极板 指向负极板。 （2）介质分界面上的自由电荷面密度 上述两物体的结果如何？) 和 (若介质是漏电的，电导率分别为 ，当电流达到恒定时， 同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得： 在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得： 所以有 由于 E 所以 E