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第一节　不定积分的概念与性质 一、不定积分的概念 二、基本积分公式 三、不定积分的性质 * * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 例如: ， 是函数 在 上的原函数. ，sin x是cos x在 上的原函数. 又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x的原函数. 定义 设f (x) 在区间上有定义,如果对任意的 都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)为 f (x)在该区间上的一个原函数. 1.原函数的概念 　一、不定积分的概念 （1）一个函数具备什么条件,能保证它的原函 数一定存在？ （2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼 此 之间有何关系？ 问题: 答案: (1)如果函数在区间上连续，则它的原函数 一定存在．具体理由将在下一章给出． (2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项. 证 设F(x)，G(x)是f (x)在区间 I 上的任意两个原函 数.所以 F(x) = G(x) = f (x)， 即 G(x) = F(x) ＋C0 ( C0为某常数). 所以有 G(x)－ F(x) = C0 ， 于是 [G(x)－ F(x)] = G(x) － F(x) = f (x)－ f (x) = 0 定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作 其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数. 即 2.不定积分的概念 例1 求 解 解 例2 求 例3 求 解 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族. 图5.1 3.不定积分的几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（图5.1）.f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的切线斜率. 例3 , 于这点的横坐标，求此曲线方程 ， 设曲线通过点(2.3),且其上任一点的切线斜率等 . 解 ， ，依题意可知 设所求的曲线方程为 x y x f y = = ) ( =1 + 2 2 x y 因 此 所 求 曲线 的 方 程为 特别地，有 4 不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算. 　 二、基本积分公式 例4 计算下列积分 解 例5 计算下列积分 解 (1) (2) 　 三、不定积分的性质 性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面. 性质2可以推广到有限多个函数的情形，即 性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即 例6 求 解 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可 例7 求 解