高等数学 -何春江 0502 0502.pptVIP

第二类换元法求不定积分的步骤为 对于某些特殊类型的被积函数的积分，如 有理函数、三角函数有理式等，可通过 恒等变形，应用上述两种方法进行求解 例1 求 例2 求 解 例3 求 例16 求 解 a x t 例14—例16中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角代换法求积分时适用于如下情形： 补充的积分公式： 由函数乘积的微分公式 移项得 对上式两端同时积分，得 公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 . 或 　 三、分部积分法 注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v. 选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中要固定 即一般情况下，u与dv按以下规律选择 例1 求 解 例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 例8 求 解 在计算积分时,有时需要同时使用换元积分法与分部积分法. 四、简单有理函数的积分 解: 因为 所以,可设 乘等式两边，得 得 于是 两端去分母得 令 于是 * * 第二节 不定积分的积分方法 一、 第一类换元积分法 二、 第二类换元积分法 三、 分部积分法 四、 简单有理函数的积分 五、 积分表的使用 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 　 一、第一类换元积分法 例1 原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而 所以有 ？ 分析 综合上述分析，此题的正确解法如下： 解 ) ( ) ( )d ( 有 具有连续导数，则 且 ， 如果 x u C u F u u f j = + = ò 定理1 公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分法”. 用第一换元积分法求不定积分的步骤是 还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换 = u,还需要在被积表达式中再凑出 即 ,也就是 ,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为 在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法. 例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 例6 求 解 用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在 下列各式中，a，b均为常数，且 ) : 例7 求 解 例8 求 解 例9 求 解 类似地，有 例10 求 类似地，有 解 例11 求 解 　 例12 求 解 二、第二类换元积分法 一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想. 定理2 设 是单调可导的函数，且 如果 则有 ． 例13 求 解 例12—例13的解题方法称为根代换法, 一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形： 例14 求 解 a x t 例15 求 解 a x t