高等数学 -何春江 0401 0401.pptVIP

* * 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 定理1 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b), 注意：罗尔中值定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立. 　一、罗尔中值定理 罗尔中值定理几何意义： 若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴. 定理2 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； 则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决. 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线. 弦线的方程为 作辅助函数 即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差. 推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数. 事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得 由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数. 推论2 若在(a,b)内恒有　 　，则有 其中C为某常数. 由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C. f(x)=g(x)+C, 事实上，由已知条件及导数运算性质可得 例１ 试证 对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x. 证 设f(x)=arctan x ,不妨设ab . 由于arctan x在[a,b]上连续，在(a,b)内可导. 可知必定存在一点 , 使得 由于 因此arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件. 由于 ，因此 从而有 * *