计算机数学基础 -何春江 第4章积分.pptVIP

第4章 积 分 4.1 定积分与不定积分的概念 4.2 积分法 二.定积分的换元法 4.3 广义积分 例10 求 解 a x t 例8—例10中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形： 补充的积分公式： 定理 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若 满足下列三个条件： 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式. (2)当t在α与β之间变化时， 单调变化且 连续，则 注意： (1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”. (2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量. (3)新变元的积分限可能αβ，也可能αβ，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 . 例1 求 解 方法二 注: 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量 例2 计算 解 = 注 用第二类换元法计算定积分时，由于引 入了新的积分变量，因此，必须根据引入的 变量代换，相应地变换积分限． 例3 求 解 例4 证明 例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上的积分性质，即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算. 例5 求 解 例6 证明 证明 由函数乘积的微分公式 移项得 对上式两端同时积分，得 公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 . 或 4.2.2 分部积分法 1. 不定积分的分部积分法 注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择u和v. 选u的法则是: 指多弦多只选多 反多对多不选多 指弦同在可任选 一旦选中不要变 即一般情况下，u与dv按以下规律选择 例1 求 解 例2 求 解 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 例6 求 解 例7 求 解 例６　计算由曲线 、直线 x =2 与x 轴围成的图形的面积． 例5　计算 ，其中 解　 解　由定积分的几何意义，得 4.1.3 不定积分的概念与性质 定义1 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为f (x)在区间 I 上的不定积分. 记作 其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数. 即 1.不定积分的概念 例2 求 解 例1 求 解 例3 求 解 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族. 2.不定积分的几何意义 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的切线斜率. 3 不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算. 特别地，有 4. 不定积分的性质 性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面. 性质2可以推广到有限多个函数的情形，即 性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即 4.1.4 不定积分的基本积分公式 例4 计算下列积分 解 例5 计算下列积分 解 (1) (2) 例6 求 解 注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可 例7 求 解 例8 求 解 例9 求 解 例10 求 解 解 例11 求 例12 求 解 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但 经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数 的积分后，便可逐项积分求得结果．如例9－12。 例13 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程. 解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知 因此所求曲线的方程为 被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u